Otras carreras ecuación diferencial, solución que tienda a cero!

[parasito]

Holaa! Vereis, me he encontrado con un ejercicio de un examen de años anteriores de ecuaciones diferenciales, dice lo siguiente:

Dada la ec. diferencial: y'' - (2a-1)y' + a(a-1)y=0


determine valores del parametro real a para los que todas las soluciones de la ecuacion diferencial tiendan a cero
cuando t lo hace a infinito. Asimismo, determine valores de a para los que todas las soluciones no esten acotadas
cuando t tiende a infinito.

He resuelto la ecuación ( homogenea) muy fácil, y he obtenido: a y a-1. Me gustaría una ayuda para la otra parte.. Gracias

[hennin]

Re: ecuación diferencial, solución que tienda a cero!

e resuelto la ecuación ( homogenea) muy fácil, y he obtenido: a y a-1. Me gustaría una ayuda para la otra parte.. Gracias

Es que la ecuación no es inhomogénea. Trata de calcular las raíces del polinomio que obtienes al aplicar el método de Euler y discute su comportamiento en cada caso.

Saludos.

[leo_ro]

Re: ecuación diferencial, solución que tienda a cero!

$y={y}_{p}+{y}_{h}$

en donde ${y}_{p}=0$

por lo que:

si ${b}^{2} =4 a c$

$y= {C}_{1}{e}^{m1 a} + {C}_{2}a{e}^{m1 a}$

si ${b}^{2} > 4 a c$

$y= {C}_{1}{e}^{m1 a} + {C}_{2}{e}^{m2 a}$

si ${b}^{2} < 4 a c$

$m1=p+qi$ y $m2=p-qi$

$y={e}^{pa} ({C}_{1} cos (qa) + {C}_{2} sen (qa))$

[parasito]

Re: ecuación diferencial, solución que tienda a cero!

Perdona, no te comprendo. La ecuación está igualada a cero, es homogenea, no?
Lo que yo he hecho es calcular directamente la ecuación característica y me salen los valores que dije. El método de Euler? Yo solo conozco un tipo de ecuaciones que se llaman ecuaciones de Euler y son para ED no lineales con un tipo de coeficiente carácterístico y creo que este no es el caso, no sé a qué te refieres, podrías explicarmelo?

[arivasm]

Re: ecuación diferencial, solución que tienda a cero!

Como se trata de una ecuación diferencial homogénea y de orden 2, para que la solución cumpla las condiciones del enunciado o bien debe ser una combinación lineal de dos exponenciales con exponentes negativos o bien es el producto de una exponencial de ese tipo y un polinomio.

En otras palabras: o bien la ecuación característica tiene dos raíces reales, negativas y diferentes, o bien tiene una raíz doble también negativa. Como las raíces de dicha ecuación son $a$ y $a-1$ está claro que no habrá la posibilidad de la raíz doble. Sólo queda que deba cumplirse que $a<0$ y $a-1<0$. Evidentemente si se da la primera también se cumple la segunda. Por tanto, la respuesta al problema es $a<0$.