2o ciclo me pueden corregir este sistema de ecuaciones diferenciales,que no se si se hace asi

[xxx_jack_xxx]

Bueno el ejercicio es el siguiente
1_Resuelva el siguiente sistemas de ecuacion diferencial, investigue como se reduce el orden
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Bueno estuve investigando en libros, y cualquier ecuacion diferencial de cualquier orden se puede reducir a un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden entonces lo que yo hice fue
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

reemplazando en la original se obtiene el siguiente sistema

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

luego resuelvo este sistema y hallo que la solucion es

$\begin{bmatrix}{x_{2}}\\{y}\end{bmatrix}=c_{1}e^{t} \begin{bmatrix} -1\\{1} \end{bmatrix}+c_{2}e^{-2t}\begin{bmatrix} 1\\{2} \end{bmatrix}$


entonces de lo anterior se deduce que

$x_{2}= -c_{1}e^{t} + c_{2}e^{-2t}$ y como

$x_{2}= x'_{1}=x'$

luego la igualdad queda

$x'=-c_{1}e^{t} + c_{2}e^{-2t}$ como

$x'=\frac{dx}{dt}= -c_{1}e^{t} + c_{2}e^{-2t}$

nos queda una ecuacion diferencial de variables separables, al integrar ambos miembros tenemos x asique x sera igual a

$x= \int-c_{1}e^{t} + c_{2}e^{-2t}= -c_{1}e^{t} -\frac {c_{2}}{2}e^{-2t}$

Luego la solucion de la ecuacion diferencial sera

$\begin{bmatrix}{x}\\{y}\end{bmatrix}=c_{1}e^{t} \begin{bmatrix} -1\\{1} \end{bmatrix}+c_{2}e^{-2t}\begin{bmatrix} \frac{-1}{2}\\{2} \end{bmatrix}$


esta bien asi planteado, para la solucion use los autovalores y autovectores de la matriz correspondiente al sistema

[pod]

Re: me pueden corregir este sistema de ecuaciones diferenciales,que no se si se hace asi

Con las ecuacions diferenciales tienes muy sencillo comprobar si lo has hecho bien: coge tu solución y métela en las ecuaciones originales y mira si se cumplen. Por ejemplo, tus soluciones son

$$\left. <br /> \begin{aligned}<br /> x & =-c_1 \eee{t} - \frac12 c_2 \eee{-2t} \ , \\<br /> y & = c_1 \eee{t} + 2 c_2 \eee{-2t} .<br /> \end{aligned}<br /> \right\}$$

Si derivas la primera dos veces, verás que te queda igual que la segunda (pero con el signo cambiado). Eso demuestra que se cumple la ecuación original. De forma similar, creo que puedes demostrar sin problemas que la segunda también se cumple. Así que tu solución es totalmente correcta.

Lo que has utilizado es el procedimiento general, el que te debes saber y funcionará siempre para ecuaciones lineales. Pero en ocasiones hay métodos más cortos (que no siempre funcionan). En este caso, por ejemplo, puedes derivar la segunda ecuación para obtener

$$y'' = -2 x'' - y' .$$

Utilizando la primera ecuación, puedes substituir la derivada segunda de x por -y. Es decir,

$$y'' + y' - 2 y = 0.$$

Esta es una de las ecuaciones lineales con coeficientes constantes que, en teoría, sabemos resolver fácilmente. Se trata de hacer el "ansatz" $y \sim \eee{p t}$, lo que nos arroja dos soluciones reales, $p = -2$ y $p = 1$. Por lo tanto, la solución general para y es:

$$y = k_1 \eee{t} + k_2 \eee{-2t} .$$

La solución para x se obtiene simplemente aplicando la primera ecuación,

$$x'' = - y \longrightarrow y = -\int\!\!\dd t\int\!\!\dd t\ y = - k_1 \eee{t} - \frac14 k_2\eee{-2t} .$$

Por lo tanto

$$\left. <br /> \begin{aligned}<br /> x & =-k_1 \eee{t} - \frac14 k_2 \eee{-2t} \ , \\<br /> y & = k_1 \eee{t} + k_2 \eee{-2t} .<br /> \end{aligned}<br /> \right\}$$

Que es equivalente a tu solución, sólo con una redefinición de las constantes (que siempre es legal, porque $k$ es tan constante como $2k$, lo que importa es que se mantenga la proporción entre términos; el término con $\eee{t}$ en x tiene el signo contrario que en y, pero con el mismo coeficiente; mientras que el otro término tiene una proporción 1 a -4).