1r ciclo Bonito problema sobre áreas de hojas.

[Turing]

Hola,

me han planteado un problema que dice así: "La velocidad de crecimiento del área, S, de una hoja joven de la planta tropical Victoria Regia (hojas circulares), es proporcional a su circunferencia y a la cantidad de luz que cae sobre la hoja. La cantidad de luz es proporcional al área de la hoja y al coseno del ángulo entre la dirección del Sol y la normal de la hoja. Éste ángulo se puede aproximar por la expresión, $\dst \pi\frac{t-12}{12}$ donde t es el tiempo en horas, contando a partir de la medianoche. Encontrar la dependencia entre el área de la hoja y el tiempo, sabiendo que a las 6 de la mañana el área es de 1600 $cm^2$ y a las seis de la tarde de 2500 $cm^2$."

Bien, he intentado hacerme una idea de lo que pasa, pero es que no acabo de verlo. ¿Podéis ayudarme un poco con el planteamiento?

Gracias.

[arivasm]

Re: Bonito problema sobre áreas de hojas.

Teniendo en cuenta que la longitud de la circunferencia es $\dst L=2\pi r=2\pi\sqrt{\frac{S}{\pi}}=2\sqrt{\pi}S^{\frac{1}{2}}$, yo lo traduciría a esta ecuación diferencial: $\dst \frac{\dd S}{\dd t}=AS^{\frac 1 2}\left[S\cos\left(\pi\frac{t-12}{12}\right)\right]=AS^{\frac 3 2}\cos\left(\pi\frac{t-12}{12}\right)$, donde A es una constante de proporcionalidad (que también engloba el factor $2\sqrt{\pi}$) y que se deberá determinar. La ecuación diferencial no parece complicada de resolver, pues se pueden separar las variables.

[Turing]

Re: Bonito problema sobre áreas de hojas.

Hola Arivasm, gracias por contestar.

¿Donde utilizas la información que te da el problema sobre la cantidad de luz proporcional?

[arivasm]

Re: Bonito problema sobre áreas de hojas.

Está representada por el contenido del corchete []: $\dst \left[S\cos\left(\pi\frac{t-12}{12}\right)\right]$. Por supuesto, tendríamos varias constantes de proporcionalidad que se agrupan en una sola. De esta manera, si llamamos $L$ a la longitud de la circunferencia, y $Q$ a la cantidad de luz tendríamos que $\dst\frac{\dd S}{\dd t}=a L Q=2a\sqrt{\pi}S^{1/2}Q$; pero a su vez $Q$ es proporcional al corchete $\dst Q=b\left[S\cos\left(\pi\frac{t-12}{12}\right)\right]$, de manera que $\dst \frac{\dd S}{\dd t}=2a\sqrt{\pi}S^{\frac 1 2}b\left[S\cos\left(\pi\frac{t-12}{12}\right)\right]=AS^{\frac 3 2}\cos\left(\pi\frac{t-12}{12}\right)$. La constante de proporcionalidad que antes llamé A será $A=2a\sqrt{\pi}b$

[Turing]

Re: Bonito problema sobre áreas de hojas.

¿De donde sacas que $\dst r^2=\frac {S}{\pi}$?

[oscarmuinhos]

Re: Bonito problema sobre áreas de hojas.

arisvam seguro que te respondería lo siguiente:

: "La velocidad de crecimiento del área, S, de una hoja joven de la planta tropical Victoria Regia (hojas circulares), es proporcional a su circunferencia y a la cantidad de luz que cae sobre la hoja. La cantidad de luz es proporcional al área de la hoja y al coseno del ángulo entre la dirección del Sol y la normal de la hoja.

Gracias.

[Turing]

Re: Bonito problema sobre áreas de hojas.

Estoy ciego hehe.

- - - Actualizado - - -

He llegado a $\dst \sqrt{S}=-\frac{2}{A \sin(\pi \frac{t-12}{12})}$. ¿Correcto?

¿La constante A la puedo calcular usando el dato del 1600 y 2500 o integrando definidamente?

[arivasm]

Re: Bonito problema sobre áreas de hojas.

Yo encuentro una solución diferente. De hecho, deberías tener dos constantes: la de proporcionalidad, A, más la de integración. A mí me sale $\dst S=\frac{S_0}{\left[1-\beta\sin\left(\pi\frac{t-12}{12}\right)\right]^2}$, donde $S_0$ es el área para t=0 y $\beta$ es una constante que engloba otras, $\beta=\frac{6}{\pi}A\sqrt{S_0}$.

Estas dos constantes deben poder obtenerse al substituir $t=6$, $S=1600$ (con lo que tenemos una ecuación que implica a las dos) y $t=18$, $S=2500$ (que nos proporciona la segunda ecuación).

Operando de esa manera obtengo $\dst\beta=\frac{1}{9\sin 0,5}=0,2318$ y $S_0=\frac{9}{10}1600=1440\,\rm cm^2$.

[Turing]

Re: Bonito problema sobre áreas de hojas.

No te sigo. ¿La constante de integración donde la tienes? ¿Por qué defines $\dst \beta=\frac{1}{24}A\sqrt{S_0}$ y luego haces $\dst\beta=\frac{1}{9\sin 0,5}=0,2318$? ¿En $\dst S_0=\frac{9}{10}1600=1440\,\rm cm^2$, que es $\dst \frac{9}{10}$?

[oscarmuinhos]

Re: Bonito problema sobre áreas de hojas.

He llegado a $\dst \sqrt{S}=-\frac{2}{A \sin(\pi \frac{t-12}{12})}$. ¿Correcto?

¿La constante A la puedo calcular usando el dato del 1600 y 2500 o integrando definidamente?

Tienes que integrar el tiempo entre y $t$ y tienes que integrar la $S$ entre $S_0$ (la superficie de la hoja correspondiente a $t=0$) y $S$ (la superficie de la hoja en el instante $t$). Si haces esto y operas para despejar la $S$, llegaras a la misma expresión de arisvam, con independencia de cual sea la constante $\beta$ (que yo no encuentro la misma, mas esto no tiene importancia para el cálculo de la misma, pues $\beta$ se va a obtener a partir de los datos experimentales y no a partir de sus parámetros)

En cuanto a tu integral, si la haces indefinida (como parece que la estés haciendo) te falta sumarle una constante de integración a esa expresión. Además si esa $A$ que pones en el denominador del segundo miembro de tu integración es la misma $A$ que tenías antes, estás haciendo mal la integración porque de la integración de

$\dst A.cos \ {\pi \left( \frac{t-12}{12} \right)}$ se obtiene $\dst \frac{12}{\pi }.A. sin \ { \pi \left( \frac{t-12}{12} \right)}$.

Las constantes $A$ y $\beta$ se obtienen como explica arisvam, aunque debe tener un error en el cálculo de $S_0$ al olvidarse de elevar al cuadrado ese $\frac{9}{10}$

A arisvam:

¿Por que de las dos soluciones de $\beta$, escoges solo una de ellas ($\dst \beta.sin \ 0,5 = \frac{1}{9}$) y no consideras también $\beta.sin 0,5 = 9$?

[arivasm]

Re: Bonito problema sobre áreas de hojas.

En mi post anterior había un error sobre la expresión de la constante $\beta$, que ya he corregido.

Efectivamente, como dice Óscar, a Turing le falta la constante de integración. Yo lo hice integrando entre $t=0$ y $t$, y entonces para la superficie entre cierta $S_0$ y $S$: $\dst \int_{S_0}^S S^{-\frac{3}{2}} \dd S=A\int_0^t\cos\left(\pi\frac{t-12}{12}\right)$, de donde se llega a $\dst\frac{1}{\sqrt{S}}=\frac{1}{\sqrt{S_0}}-\frac{6}{\pi}A\sin\left(\pi\frac{t-12}{12}\right)$. Para despejar $\sqrt{S}$ nos queda $\dst \frac{1}{\sqrt{S}}=\frac{1-\frac{6}{\pi}A\sqrt{S_0}\sin\left(\pi\frac{t-12}{12}\right)}{\sqrt{S_0}}$. Por comodidad podemos introducir una única constante que agrupe a los factores que multiplican al seno, de manera que $\dst \frac{1}{\sqrt{S}}=\frac{1-\beta\sin\left(\pi\frac{t-12}{12}\right)}{\sqrt{S_0}}$ y así queda

$$\dst S=\frac{S_0}{\left[ 1-\beta\sin\left(\pi\frac{t-12}{12}\right)\right]^2}$$

Ahora nos queda encontrar las dos constantes, para lo que usamos la información de que (omitiré las unidades, por comodidad) si t=6, S=1600 y si t=18, S=2500.

Aquí lo que hice fue substituir en (1) y dividir miembro a miembro:

$\dst\frac{S_{t=18}}{S_{t=6}}=\frac{2500}{1600}=\left[\frac{1+\beta\sin 0,5}{1-\beta\sin 0,5}\right]^2$

Como muy bien ha señalado Óscar, y es un detalle que a priori se me ha pasado por alto, al tomar la raíz cuadrada tenemos dos posibilidades:

$\dst\frac{1+\beta\sin 0,5}{1-\beta\sin 0,5}=\pm\frac{5}{4}$

Al tomar el + obtenemos la solución que comenté en el post anterior $\beta\sin 0,5=\frac{1}{9}$. Al tomar el - aparece la otra que pasé por alto: $\beta\sin 0,5=9$.

Tan sólo queda substituirlas y hallar la $S_0$ correspondiente. Si llamamos $\alpha$ al 9 o 1/9 que aparece en los dos valores anteriores, por ejemplo con t=6 tenemos que $S_0=1600(1+\alpha)^2$.

En definitiva, tenemos dos posibles soluciones, que podemos representar de una única manera como

$$\dst S=1600\frac{(1+\alpha)^2}{\left[ 1-\alpha\frac{\sin\left(\pi\frac{t-12}{12}\right)}{\sin 0,5}\right]^2}$$

Con los datos que nos da el problema no tenemos forma de discriminarlas, salvo que impongamos alguna condición adicional, como por ejemplo que no puede ser que la planta crezca y luego decrezca. Con ese enfoque es fácil ver que con $\alpha=9$ la planta está enorme a las t=12: S=160000 cm²!!!. Sólo sería con ese criterio que diríamos que la única solución válida es la correspondiente a $\alpha=\frac{1}{9}$

[Turing]

Re: Bonito problema sobre áreas de hojas.

Mil gracias a los dos. Al final lo he resuelto integrando indefinidamente e imponiendo las condiciones que me dan para poder sacar el valor de las constantes, pues eran dos incógnitas y tenía dos ecuaciones.