1r ciclo Edol1

[mariolp]

Hola, tengo que resolver la siguiente ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden

$$\frac{dr}{d\theta}+r tan\theta=sec\theta$$

Bien, claramente es una ecuación lineal en $r$, por lo tanto calculo el factor integrante de la siguiente manera

$$\mu(\theta)=exp[\int tan\theta d\theta]=exp[-ln\left\vert{} cos\theta\right\vert{}]=\frac{1}{\left\vert{} cos\theta\right\vert{}}$$

Ahora, multiplicando a ambos lados de (1) y viendo que en el lado izquierdo aparece la derivada del producto desarrollada, por la ley de la cadena podemos hacer

$$\frac{d}{d\theta } (\frac{r}{\left\vert{} cos\theta\right\vert{} })=\frac{1}{cos\theta \left\vert{} cos\theta\right\vert{} }$$

A partir de aquí, resuelvo la ec. diferencian y hago lo siguiente para "evitar" los valores absolutos, que creo que es correcto

$$\frac{r}{\left\vert{} cos\theta\right\vert{} }=\int\pm \frac{1}{{cos}^{ 2}\theta } d\theta$$

Y de aquí, viendo que el resultado de dicha integral es $tan\theta + C$ tengo que
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] Aquí, a la constante C no le añado el $\pm$ ya que vendrá definida por las condiciones iniciales, así que igual da. Creo que podría hacer lo mismo con D.

Llegando a este resultado, veo que la solución que proporciona el libro es

$$r=sen\theta + Ccos\theta$$

Que es la misma solución que en mi caso pero omitiendo el $\pm$ entonces mi pregunta es, ¿He hecho mal en hacer ese "cambio" del valor absoluto por el símbolo $\pm$ o en la solución del libro han "obviado" dicho resultado?

Muchas gracias compañeros!

[Marce_]

Re: Edol1

Hola Mario.


Llegando a la solución de la ecuación homogenea, como bien decis:

$$r_h(\theta) = |\cos\theta| \ .$$

Acá, resolviendo la solución particular a pulmón, se pueden tomar dos caminos:

$$r_{p1}(\theta) = u(\theta) \cos \theta \quad o \quad r_{p2}(\theta) = -u(\theta) \cos \theta \ .$$

Derivando $\dst r_{p1}$, reemplazando y resolviendo, queda:

$$r_{g1}(\theta) = r_{h1} + r_{p1} = \cos \theta + \sin\theta + C\cos\theta = \sin\theta + \underbrace{(C+1)}_{D}\cos\theta \ .$$

Hasta ahí la solución del libro. Tomando el otro camino:

$$r_{g2}(\theta) = r_{h2} + r_{p2} = -\cos \theta + \sin\theta -K\cos\theta = \sin\theta + \underbrace{(-K-1)}_{A} \cos\theta \ .$$

$$\therefore r_{g1}(\theta)=r_{g2}(\theta)=r_{g}(\theta) =r (\theta) \ .$$

Las constantes terminan absorbiendo cualquier influencia que el módulo pueda tener sobre la solución.

Un abrazo.-

[Umbopa]

Re: Edol1

Lo que pasa es que el $\pm$ es el signo que toma $\cos(\theta)$ , entonces $\pm |\cos(\theta)| \tan(\theta) = \sin(\theta)$ por definicion del criterio del signo que has tomado ya que tu defines

$\pm cos(\theta) = |cos(\theta)|$

entonces

$\pm |\cos(\theta)| \tan(\theta) = |\cos(\theta)| \frac{\sin(\theta)}{\pm \cos(\theta)} = |\cos(\theta)| \frac{\sin(\theta)}{| \cos(\theta)|} = \sin(\theta)$

Y por otro lado la constante de integración la has puesto mal ya que

$\pm \int \frac{1}{cos(\theta)^2} = \pm ( tan(\theta) + C)$ que NO ES LO MISMO QUE $\pm tan(\theta) + C$

Por otro lado muy bien por no dejarte el valor absoluto! que mucha gente se lo deja y no siempre se puede quitar