1r ciclo Duda condiciones de contorno membrana circular

[azerbayan]

Buenas, tengo una duda sobre las condiciones periodicas de contorno en las membranas circulares,





La ecuación 6.7.11.b tiene soluciones del tipo C1cos(sqrt(μ)θ)+C2sen(sqrt(μ)θ). Lo que no se es cual es el efecto de las condiciones 6.7.12.
Ahi se ve que pone μ=m² (m=1,2,3...), pero no acabo de entender esta restricción.
A ver si me podeis echar una mano. Un saludo.

[gdonoso94]

Re: Duda condiciones de contorno membrana circular

Lo único que impone es que sea $2\pi$ periódica tanto la función como su primera derivada, para que sea una función adecuada.

Esos autovalores surgen de resolver el problema de Sturm-Liouville de la ecuación de arriba (es un oscilador armónico en el que tienes que discutir según sea $\lambda$ si la solución son una base de autofunciones o no). Si no lo entiendes aún así, déjalo escrito y cuando tenga tiempo yo (o si alguien se ofrece para hacerlo) lo desarrollo.

Un saludo.

[azerbayan]

Re: Duda condiciones de contorno membrana circular

Hola gdonoso, lo que entiendo yo es que segun el μ que pongas luego el problema de sturm saldrá de una manera o de otra, pero el valor de μ no depende de 6.7.11.c, los μ son los autovalores de la ecuación 6.11.b. Si introduzco las condiciones de contorno me sale que C2=0 (ya que sen(x) no puede ser igual a sen(-x)). No obstante en el libro, mas abajo, pone que la solución es cos(mθ)+sen(mθ).
Obviamente hay algo que se me escapa.

[Marce_]

Re: Duda condiciones de contorno membrana circular

Hola gdonoso, lo que entiendo yo es que segun el μ que pongas luego el problema de sturm saldrá de una manera o de otra, pero el valor de μ no depende de 6.7.11.c, los μ son los autovalores de la ecuación 6.11.b. Si introduzco las condiciones de contorno me sale que C2=0 (ya que sen(x) no puede ser igual a sen(-x)). No obstante en el libro, mas abajo, pone que la solución es cos(mθ)+sen(mθ).
Obviamente hay algo que se me escapa.

Hola azerbayan,


El $\dst \mu$ que se ve en la ecuación diferencial (6.7.11b) nace de plantear separación de variables a una ecuación en derivadas parciales. El encontrar la solución a (6.7.11b) es justamente calcular para que valores de $\dst \mu$, la misma posee una solución distinta de la trivial $\dst g=0$ apoyándonos en las condiciones de contorno (6.7.12a) y (6.7.12b). Este problema de Sturm-Liouville no es regular (como bien lo aclara el texto), pero es un problema periódico (como aclaró gdonoso94) y se resuelve de la misma forma que uno regular, con la salvedad de que al analizar para distintos valores de $\dst \mu$ existen dos vías de soluciones que son no triviales ($\dst \mu = 0\quad \wedge \mu > 0$). Pero para el caso periódico es posible unir las dos soluciones en una, y tomar el caso $\dst \mu=0$ como caso particular de la solución que se obtiene para $\dst \mu>0$.


Analicemos la solución unificada que brinda el libro y veamos si realmente cumplen las condiciones de contorno:

$$g(\theta)_{m}= C_1\cos(m\theta) + C_2\sin(m\theta)$$

Generalmente se suele adoptar $\dst C_1=C_2=1$ por una cuestión de comodidad al plantear la solución general de la ecuacion diferencial en derivadas parciales por Fourier. En este caso como solo queremos analizar el problema S-L, lo podemos dejar así.

$$g(\pi)_{m}= C_1\cos(m\pi) + \underbrace{C_2\sin(m\pi)}_{=0 \forall m \in \mathbb{N}_{0}} \quad \Rightarrow \quad = \boxed{ C_{1}\cdot (-1)^{m}}$$

$$g(-\pi)_{m}= C_1\cos(-m\pi) + C_2\sin(-m\pi)$$

El coseno es una función par, y el seno es impar. Es verdad lo que decis, en general $\dst \sin(x)\neq sin(-x)$, salvo en los lugares donde esta se anula (pensá en otra función impar como ser $\dst x^3$ en el origen).


Entonces, reescribiendo (2)

$$g(-\pi)_{m}= C_1\cos(m\pi) - \underbrace{C_2\sin(m\pi)}_{=0 \forall m \in \mathbb{N}_{0}} \quad \Rightarrow \quad = \boxed{ C_{1}\cdot (-1)^{m}}$$

Veamos la derivada:

$$\frac{\dd g(\theta)}{\dd \theta}= g^{'}(\theta)_{m}= C_2m\cos(m\theta) - C_1m\sin(m\theta)$$

Aplicando el mismo razonamiento anterior:

$$g^{'}(\pi)_{m}= C_2m\cos(m\pi) - C_1m\sin(m\pi)= \boxed{ C_{2}\cdot (-1)^{m}}$$

$$g^{'}(-\pi)_{m}= C_2m\cos(m\pi) + C_1m\sin(m\pi)= \boxed{ C_{2}\cdot (-1)^{m}}$$

Concluimos entonces que las autofunciones de (1) satisfacen las condiciones de contorno. Si tenes dudas sobre la resolución en particular, avísanos. Mientras tanto te dejo este link. En la página 5 analiza este mismo problema, con la salvedad de que elige dividir los casos. Es por eso que los autovalores que figuran cuando se plantea la solución para $\dst \mu>0$ arrancan desde m=1 ($\dst m \in \mathbb{N}$) y no desde 0 ($\dst m \in \mathbb{N}_0$) como este caso, aún sabiendo que se pueden unificar.


Un abrazo!.-

[azerbayan]

Re: Duda condiciones de contorno membrana circular

Ok, muchas gracias, no había caido que sen(npi)=0. Un saludo.