Divulgación Integrales definidas e indefinidas

[The Higgs Particle]

Hola, acabo de empezar con las integrales y, aunque usamos principalmente las definidas, también hemos visto algo de indefinidas.

Sé que una integral definida es de la forma ${{\int}_{ a}}^{b } k{x}^{n }dx = k \cdot [\frac{{x}^{ n+1}}{n+1 }{{]}_{ a}}^{b }= k \cdot (\frac{{b}^{n+1 }}{ n+1} - \frac{{a}^{n+1 }}{ n+1})$ y que una indefinida es de la forma $\int k{x}^{n }dx = k \cdot \frac{{x}^{ n+1}}{n+1 } + C$.

Pero ¿qué diferencias hay entre una y otra, además de $C$? ¿Siempre tiene que estar la definida "encerrada" en un intervalo (a, b)? Y, en cuanto a la práctica, ¿cuándo se utiliza cada una de ellas?

Muchas gracias!

[Weip]

Re: Integrales definidas e indefinidas

Pero ¿qué diferencias hay entre una y otra, además de $C$? ¿Siempre tiene que estar la definida "encerrada" en un intervalo (a, b)? Y, en cuanto a la práctica, ¿cuándo se utiliza cada una de ellas?

Muchas gracias!

La diferencia es solo la $C$, pero el salto conceptual es grande. La integral indefinida es una función sin más pero la definida es un número, por decir una notable diferencia. La integral definida sí, está "encerrada", representa áreas y en ciertas ocasiones volúmenes en un intervalo finito. También es posible que el intervalo tenga infinitos (cosas del estilo $(-\infty, 1]$) pero eso ya no es una integral de Riemann (la integral definida habitual que conoces se llama así), es otro tipo de integral. Si quieres una diferencia clara, la definida es un área y la indefinida no.

En la práctica, puedes resolver ecuaciones diferenciales con las indefinidas. Con las definidas también, en física es muy habitual hacerlo con las definidas antes que con las indefinidas, pero las puedes hacer de las dos formas.

Lo sé, mi mensaje "sabe a poco", pero te aseguro que el concepto de integral es potentísimo y da para mucho. En la práctica se usa más en ecuaciones diferenciales o en geometría. También es una herramienta teórica importante, pero eso ya es más complicado de explicar a un estudiante de secundaria. Son cosas que verás con los años, al principio poco se puede vislumbrar de sus aplicaciones.

[The Higgs Particle]

Re: Integrales definidas e indefinidas

Muchas gracias, Weip!

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Releyendo tu respuesta me ha surgido una duda:

La integral definida [...] es posible que el intervalo tenga infinitos (cosas del estilo $(-\infty, 1]$)

Es decir, ¿esa sería un área infinita, algo así como la trompeta de Torricelli?

[sater]

Re: Integrales definidas e indefinidas

No tiene por qué: https://www.youtube.com/watch?v=0k7nHs9Wnj4

[Weip]

Re: Integrales definidas e indefinidas

Muchas gracias, Weip!

- - - Actualizado - - -

Releyendo tu respuesta me ha surgido una duda:



Es decir, ¿esa sería un área infinita, algo así como la trompeta de Torricelli?

Tal como dice sater, no tiene porqué. A mi me sorprendió mucho eso. El vídeo que te ha puesto sater es un ejemplo clarísimo (y famoso) de esto. Además, fíjate que la función $f(x)=e^{-x^2}$ no tiene integral indefinida, y la integral del vídeo no es de Riemann, es de otro tipo (es una integral impropia). La magia de las matemáticas.

[visitante20160513]

Re: Integrales definidas e indefinidas

La integral indefinida no es una integral propiamente dicha (suma de infinitésimos), es más bien una forma de expresar las soluciones de una ecuación diferencial de la forma:

$y'=f(x)\qquad\Longleftrightarrow\qquad y=\displaystyle\int f(x)dx$

ya que ambas formas siempre son equivalentes. Por lo tanto el problema de resolver una integral definida y el problema de resolver otra indefinida son problemas básicamente distintos. Ocurre sin embargo que la regla de Barrow nos suministra un método para resolver las primeras usando las segundas, pero no hay que dejarse engañar, la resolución de las integrales definidas es un problema que nos devuelve siempre un número y que es esencialmente distinto al problema de la resolución de una integral indefinida, que no es más que la resolución de una ecuación diferencial y que nos devuelve siempre una función (o mas bien una familia de funciones).

Salu2, Jabato.

[The Higgs Particle]

Re: Integrales definidas e indefinidas

Mucho más claro ahora. ¡Gracias!