1r ciclo Ayuda con resolución de ecuación diferencial, movimiento por paraboloide

[alexpglez]

Hola, no sabía como empezar a intentar resolver esta ecuación:

$$\frac{\dd^2 p}{\dd t^2} +4a^2\frac{\dd^2 p}{\dd t^2}p^2+ 4a^2p(\frac{\dd p}{\dd t}) ^2-\frac{l^2}{m^2 p^3} + 2gap=0$$

Habiendo también otra secundaria, pero que también quiero resolver:

$$\frac{\dd \theta}{\dd t}=\frac{l}{mp^2}$$

En realidad es para obtener ciertas ecuaciones de movimiento en donde:

$$\vec r=p \hat r+z\vec k=p \cos \theta \vec \imath + p \sin \theta \vec \jmath + z \vec k$$

En donde a l m y g con constantes.

Si eso lo pregunto aquí ya que va con el tema, me preguntaba cómo serían las ecuaciones de movimiento para una partícula deslizándose por un paraboloide bajo la fuerza de la gravedad, planteando el problema con unas coordenadas cilíndricas en donde z es dependiente del radio. Si queréis echarle un vistazo por si lo tengo mal..

$$z=ap^2$$

$$v_z=2ap\frac{\dd p}{dt}$$

$$p^2=x^2 + y^2$$

$$v^2=v_x^2+v_y^2+v_z^2=(\frac{dp}{dt})^2+p^2(\frac{d\theta}{dt})^2+4a^2p^2(\frac{\dd p}{dt})^2$$

$$V=mgz=mgap^2$$

$$L=\frac{1}{2}m(\frac{dp}{dt})^2+\frac{1}{2}mp^2(\frac{d\theta}{dt})^2+2ma^2p^2(\frac{\dd p}{dt})^2-mgap^2$$

$$L=\frac{1}{2}m\dot p^2+\frac{1}{2}mp^2 \dot \theta^2+2ma^2p^2\dot p^2-mgap^2$$

Las coordenadas son $\theta$ y $p$.
Empezamos por lo fácil:

$$\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot \theta})-\frac{\partial L}{\partial \theta}=0$$

$$\frac{d}{dt}(mp^2 \dot \theta)=0$$

$$mp^2 \dot \theta=l=cte$$

$$\dot \theta=\frac{l}{mp^2}$$

Y la otra coordenada:

$$\frac{\partial L}{\partial \dot p}=m\dot p + 4ma^2 p^2 \dot p$$

$$\frac{\partial L}{\partial p}=m p \dot \theta ^2 + 4ma^2 p \dot p ^2 - 2mgap$$

$$\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot p})=m\ddot p + 4ma^2 p^2 \ddot p + 8ma^2 p \dot p ^2$$

$$m\ddot p + 4ma^2 p^2 \ddot p + 8ma^2 p \dot p ^2 - m p \dot \theta ^2 - 4ma^2 p \dot p ^2 + 2mgap$$

Eliminando m y reagrupando.

$$\ddot p + 4a^2 p^2 \ddot p + 4a^2 p \dot p ^2 - p \dot \theta ^2 + 2gap$$

Sustituyendo $\dot \theta$

$$\ddot p + 4a^2 p^2 \ddot p + 4a^2 p \dot p ^2 - \frac{l^2}{m^2p^3} + 2gap$$

Finalmente:

$$\frac{\dd^2 p}{\dd t^2} +4a^2\frac{\dd^2 p}{\dd t^2}p^2+ 4a^2p(\frac{\dd p}{\dd t}) ^2-\frac{l^2}{m^2 p^3} + 2gap=0$$

$$\frac{\dd \theta}{\dd t}=\frac{l}{mp^2}$$

Y ya me quedo aquí atascado..
Un saludo, gracias por adelantado.

PD: creo que ya están bien los pasos.. no sé si me habré dejado algo por escribir

[Umbopa]

Re: Ayuda con resolución de ecuación diferencial, movimiento por paraboloide

Suponiendo que la ecuación es corrrecta

$(1+4 a^2 p^2) \frac{d^2 p}{dt^2} + 4 a^2 p \left( \frac{dp}{dt} \right)^2 = \frac{l^2}{m^2 p^3}-2 g a p$

llamamos $q = \frac{dp}{dt}$, entonces $\frac{d^2 p}{dt^2} = \frac{dq}{dt} = \frac{dq}{dp} \frac{dp}{dt} = q \frac{dq}{dp}$,

reescribiendo

$(1+4 a^2 p^2) q \frac{d q}{d p} + 4 a^2 p q^2 = \frac{l^2}{m^2 p^3}-2 g a p$

reescribiendo $u=q^2$

$(1+4 a^2 p^2) \frac{1}{2} \frac{d u}{d p} + 4 a^2 p u = \frac{l^2}{m^2 p^3}-2 g a p$

Y esta es lineal de primer orden, que es una de la primeras que se enseñan en los cursos de ecuaciones diferenciales (resolver con el factor integrante),

ver http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_...e_coefficients

Una vez tienes $u=q^2 = f(p) = \left( \frac{dp}{dt} \right)^2$, integrando una segunda vez obtienes $p(t)$

[alexpglez]

Re: Ayuda con resolución de ecuación diferencial, movimiento por paraboloide

Gracias, cuando saque tiempo me pongo a resolverla y posteo las dificultades que encuentre (si encuentro alguna), parece complicado elegir bien los cambios de variable para simplificar las ecuaciones...

[Umbopa]

Re: Ayuda con resolución de ecuación diferencial, movimiento por paraboloide

Okay, si no te sale avisa. No se si la solución te quedará cerrada y sencilla, pero como mínimo el procedimiento que te he dicho conduce a la solución.

Por cierto sería interesante pintar las trayectorias 3d ! jeje

[alexpglez]

Re: Ayuda con resolución de ecuación diferencial, movimiento por paraboloide

Pff, pues he conseguido lo primero, bastante sencillo, pero luego me he quedado un poco confuso, pongo los pasos por si me he equivocado y luego expongo las dudas.

$$\frac{d u}{d p} + \frac{8 a^2 p}{1+4 a^2 p^2} u = \frac{2l^2}{m^2 p^3(1+4 a^2 p^2)}-\frac{4 g a p}{1+4 a^2 p^2}$$

Entonces según el método para resolver esta (que por cierto no lo conocía, me sonaba pero no quería verlo porque parecía difícil, leyendo ahora wikipedia, el método parece bastante sencillo..):

$$u=\frac{\int h(p) e^{\int f(p) dp} dp}{e^{\int f(p) dp}}$$

$$f(p)=\frac{8 a^2 p}{1+4 a^2 p^2}$$

$$h(p)=\frac{2l^2}{m^2 p^3(1+4 a^2 p^2)}-\frac{4 g a p}{1+4 a^2 p^2}$$

Se me ha ocurrido llamar $Q=1+4a^2p^2$ entonces $8a^2p=Q'$ y la integral:

$$\int f(p) dp = \int \frac{Q'}{Q} dp=\int \frac{dQ}{Q}=\ln CQ$$

$$u=\frac{\int h(p) e^{\int f(p) dp} dp}{e^{\int f(p) dp}}=\frac{\int h(p) CQ dp}{CQ}=\frac{\int h(p) Q dp}{Q}$$

$$\int h(p)Q dp=\int \frac{2l^2}{m^2 p^3}-4 g a p dp=-\frac{l^2}{m^2 p^2}-2 g a p^2-C_1$$

$$u=\frac{\int h(p) Q dp}{Q}=\frac{\int h(p) Q dp}{Q}=-\frac{l^2}{m^2 p^2}-2 g a p^2-C_1=(\frac{dp}{dt})^2$$

Hasta ahí todo bien¿? Mi duda sería como resolver esta última, podría despejar t, resolver la integral y despejar p, no se si sería un buen método..

$$(\frac{dp}{dt})^2=-\frac{l^2}{m^2 p^2}-2 g a p^2-C_1$$

$$\frac{dp}{dt}=i\sqrt{\frac{l^2}{m^2 p^2}+2 g a p^2+C_1}$$

$$dt=-i\frac{dp}{\sqrt{\frac{l^2}{m^2 p^2}+2 g a p^2+C_1}}$$

$$t=-i\int \frac{dp}{\sqrt{\frac{l^2}{m^2 p^2}+2 g a p^2+C_1}}$$

Me ha quedado quedado un número complejo en un principio.., no sé si esta bien así, ahora solo haría falta resolver la integral¿? Habría algún otro método mejor¿?

Gracias

Por cierto sería interesante pintar las trayectorias 3d ! jeje

Precisamente por eso la quiero resolver, molaría ver cómo se mueve una bola rodando por una superficie paraboloide, aunque veo que sobresale de mis posibilidades matemáticas.. He ido viendo cálculo diferencial e integral autodidactamente y me dejé ecuaciones diferenciales complicadas y métodos de integración avanzados para verlos más adelante, así que se me escapa de las posibilidades ecuaciones e integrales así.. Gracias otra vez

[Umbopa]

Re: Ayuda con resolución de ecuación diferencial, movimiento por paraboloide

Creo que esta bien. Pues sale más sencillo de lo que me pensaba !

Con el número imaginario no hay ningún problema, cuando impongas condiciones iniciales y determines $C_1$ te saldrá todo real.

Esta integral que sale ahora tiene una solución !! http://www.wolframalpha.com/input/?i...5E2+%2Bc%29%29. Si simplifcas la raiz del numerador y denominador te queda un expresión implícita bastante sencilla, que puede dibujar con algún programa gráfico (el Geogebra mismo).
Y respondiendo a tu pregunta, no creo que exista ningún método mejor, y si existiera te conduciría a la misma integral.

[alexpglez]

Re: Ayuda con resolución de ecuación diferencial, movimiento por paraboloide

Ya veo, me queda esa ecuación, donde después debo despejar p y ya tengo p en función de t. Algo que había pensado después, (no he tenido tiempo de emplearlo), es resolver p con respecto al ángulo, así me queda la ecuación en polares, y después por la otra integrar para obtener t con respecto al ángulo, sacar el ángulo con respecto al tiempo y así obtener todo. Mañana lo miro más tranquilamente.
Por cierto, a la hora de despejar un cuadrado, se debe dejar todas las soluciones, es decir, en la integral anterior debería haber puesto $\pm i$ ¿?
Un saludo y gracias otra vez.

[Weip]

Re: Ayuda con resolución de ecuación diferencial, movimiento por paraboloide

Por cierto, a la hora de despejar un cuadrado, se debe dejar todas las soluciones, es decir, en la integral anterior debería haber puesto $\pm i$ ¿?

Cuando tratas con funciones y haces cuadrados, raíces... no estás haciendo la operación de potencia o raíz cuadrada en los reales/complejos, si no que estás componiendo tu función con la función potencia o raíz. Así que solo has de poner un signo. Piensa que si pones los dos te va a salir algo que no es una función. Y en consecuencia perderías la solución buena de tu ecuación.

[alexpglez]

Re: Ayuda con resolución de ecuación diferencial, movimiento por paraboloide

Pues de momento, resolviendo la ecuación, parece que me quedan cosas algo raras:

$$it=\frac{ \ln (2\sqrt{b}\sqrt{a+bx^4+cx^2}+2bx^2+c)}{2\sqrt{b}}+c_2$$

Dejando:

$$a=\frac{l^2}{m^2}$$

$$b=2ga$$

Y c y c_2 las constantes por determinar:

$$e^{i2\sqrt{b}t-2\sqrt{b}c_2}=2\sqrt{b}\sqrt{a+bx^4+cx^2}+2bx^2+c$$

Voy a renombrar a c_2.

$$C_2e^{i2\sqrt{b}t}-c-2bx^2=2\sqrt{b}\sqrt{a+bx^4+cx^2}$$

Llamo $\omega=C_2e^{i2\sqrt{b}t} - c$

$$\omega ^2 - 4b\omega x^2 + 4b^2x^4=4b(a+bx^4+cx^2)$$

$$\omega ^2 - \omega x^2=a+cx^2$$

$$x^2=\frac{\omega ^2 -a}{c+\omega}$$

Entonces tengo:

$$p^2=\frac{(C_2e^{i2\sqrt{2ga}t} - c) ^2 -\frac{l^2}{m^2}}{C_2e^{i2\sqrt{2ga}t}}$$

Como:

$$l=cte=mp^2 \dot \theta$$

Puedo dejar la constante en función de sus valores iniciales, da un poco igual, pero clásicamente me gusta más verlo así:

$$p^2=\frac{(C_2e^{i2\sqrt{2ga}t} - c) ^2 -p_0^4\dot \theta_0 ^2}{C_2e^{i2\sqrt{2ga}t}}$$

Está bien así¿?, el problema que me surge ahora, es al intentar tomar p inicial, e intentar determinar alguna constante, me salen ecuaciones cuadráticas, con expresiones despejadas bastante largas, además, C_2 y c me sale que deberían tener las mismas unidades..
Y, el ángulo en función del tiempo tampoco parece quedar tan sencillo, por la fórmula anterior de momento angular, se despeja el ángulo y queda la siguiente integral:
http://www.wolframalpha.com/input/?i...-+c%29^2+-d%29