1r ciclo Introducción Ec. Diferenciales

[The Higgs Particle]

Me han puesto que una función diferencial es del tipo:

$\frac{\partial y}{\partial x} = F (x,y)$

y si $F$ es una función de variable separadas, podemos expresar lo anterior como:

$\frac{\partial y}{\partial x} = g(x) \cdot h(y)$

puesto que $F(x,y) = g(x) \cdot h(y)$

¿Pero qué significa tiene esta igualdad? ¿Que la velocidad de variación de una función $y$ a medida que $x$ va cambiando es igual a $g(x) \cdot h(x)$? Es decir, que la tangente de la función $g$ es igual a $g(x) \cdot h(y)$?

Y cuando hemos despejado: $\frac{1}{h(y)} = g(x) \cdot dx$ y hacemos la integral de ambas, ¿estamos diciendo que el área encerrada por la función $\frac{1}{h(y)}$ es la misma que la encerrada por la función $g(x)$?

[Weip]

Re: Introducción Ec. Diferenciales

¿Que la velocidad de variación de una función $y$ a medida que $x$ va cambiando es igual a $g(x) \cdot h(x)$?

Estás interpretando una derivada parcial como una derivada normal. Piénsala como una derivada direccional respecto a (1,0,0).

Es decir, que la tangente de la función $g$ es igual a $g(x) \cdot h(y)$?

Creo que te estás liando. $g(x) \cdot h(y)$ es una función, no la recta tangente de $g$. La tangente de $g$ en un punto determinado la obtienes con los métodos que te enseñaron en bachillerato.

Y cuando hemos despejado: $\frac{1}{h(y)} = g(x) \cdot dx$ y hacemos la integral de ambas, ¿estamos diciendo que el área encerrada por la función $\frac{1}{h(y)}$ es la misma que la encerrada por la función $g(x)$?

Falta un diferencial en el miembro izquierdo para que la integración tenga sentido. O eso o el $dx$ del lado derecho sobra. Otra cosa, no sé de donde despejas, esto me gustaría que lo detallaras. En todo caso la respuesta a tu pregunta es sí siempre que acabes de darle sentido a tu expresión.

[The Higgs Particle]

Re: Introducción Ec. Diferenciales

Piénsala como una derivada direccional respecto a (1,0,0)

¿Qué es una derivada direccional?

Falta un diferencial en el miembro izquierdo para que la integración tenga sentido. O eso o el $dx$ del lado derecho sobra. Otra cosa, no sé de donde despejas, esto me gustaría que lo detallaras. En todo caso la respuesta a tu pregunta es sí siempre que acabes de darle sentido a tu expresión.

Sí, perdón, se me ha olvidado ponerla:

$\frac{\partial y}{ \partial x} = g(x) \cdot h(y) \to \frac{1}{h(y)} = g(x) \cdot \partial x \to \int \frac{\partial y}{h(y)} = \int g(x) \cdot \partial x \to y = H(x) + C$

[Weip]

Re: Introducción Ec. Diferenciales

¿Qué es una derivada direccional?

Mejor olvídalo y díme: ¿qué te han dicho que es una derivada parcial? Para así poder responderte en términos de cosas que ya sabes.

$\frac{\partial y}{ \partial x} = g(x) \cdot h(y) \to \frac{1}{h(y)} = g(x) \cdot \partial x \to \int \frac{\partial y}{h(y)} = \int g(x) \cdot \partial x \to y = H(x) + C$

Lo mismo que te he dicho en el otro hilo. Aunque, por preguntar, ¿tu profesor también hace esos despejes? Otra cosa, el 1 no sería $\partial y$? Está mal igual, pero es que el uno no me cuadra.

Edito: La última pregunta da igual, no había visto tu respuesta del otro hilo.

[Weip]

Re: Introducción Ec. Diferenciales

Bueno pues te explico lo de la derivada direccional y si eso ya lo conectaré con lo que te hayan contado en clase. En una variable tienes dos formas de acercarte a un punto: por la izquierda y por la derecha. Por eso hay el límite por la izquierda y el límite por la derecha. Pero en varias variables tienes infinitas formas de aproximarte a un punto (siguiendo una recta, una espiral...). Es por eso que para derivar hace falta especificar un vector que dará la dirección y sentido. Esta construcción da lugar a la derivada direccional. Teniendo en cuenta esto, una derivada parcial es una derivada direccional respecto un vector de la base canónica $(e_1, e_2, ..., e_n)$. Por ejemplo si derivas respecto a $x$ el vector es $e_1$, si es respecto $y$ el vector es $e_2$, etc. Por lo tanto a tu interpretación le falta especificar el vector $e_1$. Es decir, la derivada parcial respecto a $x$ es el ritmo de cambio de la función respecto a $x$ en la dirección $e_1$. Decir que este concepto seguramente lo hayas visto "escondido": si tu función es diferenciable, la derivada direccional de cada componente es el diferencial de cada componente (el diferencial en diversas variables lo has dado ¿no?).

[The Higgs Particle]

Re: Introducción Ec. Diferenciales

¿$\vec{e_1} = \vec{i}$?

Tengo en los apuntes que $\frac{\partial f}{\partial x}$ mide cómo varía $z = (x,y)$ con respecto a $x$, estando la $y$ fijada.
Eso significa que $e_2$, tomado respecto al origen, es constante, ¿no?

Quiero decir, en esta imagen, por ejemplo, los puntos siempre van a ser $(x,1)$. El vector de dicho punto será $\vec v = x \cdot \vec i + 1 \cdot \vec j =(x,1)$. Y en ese caso, ¿es además, $\frac{\partial f}{\partial x}$ da la pendiente de la recta roja y el vector de la misma $\vec{i}$? ¿Y no tienen ninguna componente $\vec j$? ¿Cómo se especifica entonces si $y=0, y=2$ o $y=-29990$?

[Weip]

Re: Introducción Ec. Diferenciales

¿$e_1 = \vec{i}$?

Sí, es ese.

Tengo en los apuntes que $\frac{\partial f}{\partial x}$ mide cómo varía $z = (x,y)$ con respecto a $x$, estando la $y$ fijada.

Creo que te refieres a que $z$ está en función de $x$ y de $y$ (al menos el la imagen que has puesto es así). En ese caso lo que dices funciona para funciones más generales en que $z$ no esté en función ni de $x$ ni de $y$. Lo de fijar la $y$ viene de la definición de derivada parcial respecto $x$:

$\dst\frac{\partial f}{\partial x}(p)=\dst\lim_{t \to 0} \dst\frac{f(p+te_1)-f(p)}{t}$

Como ves la dirección se determina en el término $f(p+te_1)$ donde estás fijando la $y$. Si quisieras hacer una derivada parcial respecto $y$ tendrías que hacer $f(p+te_2)$ (es decir, dejas la $x$ fija). Y si quieres la derivada direccional respecto $u$ harías $f(p+tu)$ (y en este caso no dejas fija ninguna). No sé si me he explicado. De aquí sale el método que usas para calcular derivadas parciales.

Eso significa que $e_2$, tomado respecto al origen, es constante, ¿no?

$e_2$ como tal no varía nunca. Lo que digo es que elegir un vector u otro te determinará una derivada u otra. En el caso de derivada parcial respecto $x$ el vector $e_2$ no interviene en nada puesto que estás escogiendo como vector $u=(1,0,...,0)$ y hay un 0 en la segunda componente. Solo es una elección. A los vectores no les haces nada realmente.

Y en ese caso, ¿es además, $\frac{\partial f}{\partial x}$ da la pendiente de la recta roja y el vector de la misma $\vec{i}$? ¿Y no tienen ninguna componente $\vec j$?

Sí, sería la pendiente de la recta. El plano azul es paralelo al eje X así que la dirección es la de $\vec{i}$.

¿Cómo se especifica entonces si $y=0, y=2$ o $y=-29990$?

Se especifica por el punto. Si derivas en $p=(1,1,1)$ entonces tu fijas $y=1$. Y en un punto $(x_0, y_0, z_0)$ tu fijas $y =y_0$. Te propongo que hagas lo siguiente. Fija la $y$ en una función, deriva y sustituye la $x$. Verás que te da lo mismo que si primero derivas y luego sustituyes la $x$ y la $y$ (que es como lo haces normalmente).

[alexpglez]

Re: Introducción Ec. Diferenciales

Sobre aplicaciones geométricas de la derivada direccional no sé nada, aunque sobre el punto de vista del cálculo ya te respondí en el otro hilo. Sobre la ecuación diferencial, lo que Weip trataba de decirte es que:

$$\frac{\partial y}{\partial x}=g(y)h(x)$$

$$\frac{d y}{g(y)}=h(x)dx$$

Esto como ya sabrás se puede resolver integrando definidamente o indefinidamente:

$$\int_{y_0}^y \frac{d y}{g(y)}=\int_{x_0}^{x}h(x)dx$$

(Aquí es donde te olvidaste escribir dy).

$$\int \frac{d y}{g(y)}=\int h(x)dx + C$$

Donde obviamente $C(x_0,y_0)$.

Algo que está mal también es escribir:

$$\frac{\partial y}{g(y)}=h(x) \partial x$$