1r ciclo Ecuaciones diferenciales simples

[The Higgs Particle]

Tengo aquí unas ecuaciones diferenciales que había que calcular, pero tengo algunas dudas porque me salen cosas raras (como en el último apartado):

a) $\frac{\partial x}{ \partial t} = \sqrt{3t + 1}$, con $x(0) = 1$

$\partial x = \sqrt{3t + 1} \cdot \partial t \to \int \partial x = \int \sqrt{3t + 1} \cdot \partial t \to x = \frac{2}{9} \cdot (3t +1)\frac{^3}{2} + C$, siendo $C = \frac{7}{9}$



b) $\frac{\partial x}{ \partial t} = \frac{tx}{1 + t^2}$, con $x(0) = 1$. Esta creo que me sale bien, así que pongo el resultado directamente: $x = \sqrt{1+t^2}$



c) $\frac{\partial y}{\partial x } = \frac{1}{2} y^2 - 2y$, con $y(0) = -3$. En esta tengo bastantes dudas en el proceso:

$2 \cdot \frac{\partial y}{ \partial x} = y^2-4y \to \frac{\partial y}{y \cdot (y-4)} = \frac{1}{2} \cdot \partial x \to$ $\partial y \cdot (\frac{-1/4}{y } + \frac{1/4}{y-4 }) = \frac{1}{2 } \cdot \partial x \to$ $\frac{-1}{4} \cdot ln|y| + \frac{1}{4} \cdot ln|y-4| = \frac{1}{2} x + C$

$ln|1- \frac{4}{y}| = 2x + 4C \to 1 - \frac{4}{y} = e^{2x} \cdot K$, donde $K = e^{C'} = e^{4C}$. Por lo tanto:

$y= \frac{4}{1-e^{2x} \cdot K} \to K = 1/3$



d) $\frac{\partial y}{\partial x} = (y+1) \cdot e^{-x}$, con $y(0) = 2$

$\int \frac{\partial y}{ y+1} = \int \frac{\partial x}{e^x } \to y + 1 = e^{e^{-x}} \cdot e^C - 1$, siendo $C = - \frac{1}{2}$, pero me extraña que salga esto porque es un resultado bastante feo ($e^{e^{-x}}$)



e) Creo que esta no me sale, pues hago la derivada respecto a x de la función que obtengo y me sale algo muy diferente a $x^2y^2$
$\frac{\mathrm{d}y }{\mathrm{d} x} = x^2 y^2$, con $y(1) = 1$

$\int y^{-2} \cdot \partial y = \int x^{2} \cdot \partial x \to y = \frac{-3}{x^3} + C$, con $C = 4$

[arivasm]

Re: Ecuaciones diferenciales simples

$\dst \int \frac{\dd x}{\ee^x}=\int \ee^{-x}\dd x=-\ee^{-x}+C$

[The Higgs Particle]

Re: Ecuaciones diferenciales simples

$\dst \int \frac{\dd x}{\ee^x}=\int \ee^{-x}\dd x=-\ee^{-x}+C$

Pero $\int \frac{\partial y}{ y+1} = \int \frac{\partial x}{e^x } \to ln|y+1| = -e^{-x} + C \to y + 1 = e^{-e^{-x} + C}$

Un problema que veo ahora (aparte de haberme comido el signo), es que si me dicen que $y(0) = 2$, ¿cómo voy a hacer $e^{-x} = e^{\frac{1}{x}} \to e^{\frac{1}{0}}$?

[arivasm]

Re: Ecuaciones diferenciales simples

Haz y=2 y x=0: $\ln 3=-1+C$, luego $C=1+\ln 3$

[Weip]

Re: Ecuaciones diferenciales simples

$\int \frac{\partial y}{ y+1}$

Esto no lo escribas en un examen. $\partial y$ a solas no significa nada en este contexto.

[The Higgs Particle]

Re: Ecuaciones diferenciales simples

Haz y=2 y x=0: $\ln 3=-1+C$, luego $C=1+\ln 3$

Ahí va, se me ha ido por completo. Había puesto que $e^{-x} = e^{\frac{1}{x}}$ en vez de $e^{-x} = \frac{1}{e^x}$

Esto no lo escribas en un examen. $\partial y$ a solas no significa nada en este contexto.

No entiendo por qué está mal ni cómo lo debería haber puesto

[Weip]

Re: Ecuaciones diferenciales simples

No entiendo por qué está mal ni cómo lo debería haber puesto

En una integral tienes dos opciones, o pones $dy$ o no pones nada. El problema de hacerlo como lo has hecho es que das a entender que interpretas la derivada parcial como una división y pasas el $\partial x$ al otro lado. Es un detallito pero que no deja claro si comprendes los conceptos o no. Cuidado con los "prejuicios" del cálculo en una variable.

[The Higgs Particle]

Re: Ecuaciones diferenciales simples

En todos los ejemplos que hemos hecho en clase hemos puesto dentro de la integral "$\partial$", seguido de la variable que fuera. Entonces, ¿sólo debería usar $\partial$ fuera de integrales y, cuando esté con integrales, cambiarlo por "$d$"?

[Weip]

Re: Ecuaciones diferenciales simples

En todos los ejemplos que hemos hecho en clase hemos puesto dentro de la integral "$\partial$", seguido de la variable que fuera. Entonces, ¿sólo debería usar $\partial$ fuera de integrales y, cuando esté con integrales, cambiarlo por "$d$"?

Desde luego no es una notación estándar o al menos nunca lo he visto en ningún texto. Bueno si es notación y el profesor lo admite pues hazlo así, pero en otros ámbitos acláralo. Por cierto ahora que me fijo todas las funciones son de una variable. Entonces lo mejor sería poner $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$ en vez de $\frac{\partial y}{\partial x}$. Pero lo dicho, si en clase lo hacéis así, no me meto. Imagino que será para poder resolver las ecuaciones sin meterse en complicaciones.

[The Higgs Particle]

Re: Ecuaciones diferenciales simples

Entonces, fuera de clase, ¿sólo pongo $\partial$ cuando tenga una función que dependa de varias variables?

[Weip]

Re: Ecuaciones diferenciales simples

Entonces, fuera de clase, ¿sólo pongo $\partial$ cuando tenga una función que dependa de varias variables?

Sí, es la notación habitual para las derivadas parciales. Otras formas podrían ser $f_x$ o $D_x f$ pero bueno mejor quédate con la de $\frac{\partial f}{\partial x}$ que es la más estándar. Y mejor dejo de desviar el tema del hilo, era sólo que me ha sorprendido.

Edito: Releyendo tu ejercicio no he podido evitar recordar esto. En principio es un chiste, pero el problema del $\partial y$ es justamente este.

[alexpglez]

Re: Ecuaciones diferenciales simples

Entonces, fuera de clase, ¿sólo pongo $\partial$ cuando tenga una función que dependa de varias variables?

Como dice Weip, es sólo para derivadas parciales. Para integrales múltiples tampoco se puede escribir ese símbolo, no sé si has visto integrales múltiples:

$$\iint f(x,y) dx dy$$

Se entiende que cuando integras sobre x, dejas y como cte.
Y aunque f sea una función de dos variables, estaría incorrecto escribirlo:

$$\iint f(x,y) \partial x \partial y$$