Ecuaciones diferenciales acopladas

[Luna28]

Hola!!

Necesito ayuda para resolver el siguientes sistema de ecuaciones diferenciales, la sugerencia del libro es : they are easily solved by differentiating the first and using the second to eliminate z̈. Son ecuaciones de movimiento para una partícula en un campo magnético (Cycloid Motion). Cualquier ayuda es bienvenida, gracias.

$y''=\omega z'$

$Z''=\omega \dfrac {E}{B}-\omega y'$

[Mishelle]

Hola! Puedo ayudarte pero tengo un problema cuando convierto a homogénea no recuerdo que debía hacer con la constante, pero con todo te comparto hasta donde tengo.

y'' = wz'

d²y/dt² = w (dz/dt)

(d/dt)(d²y/dt²) = (d/dt) (w (dz/dt))

(d³y/dt³) = (0)dz/dt + w(d²z/dt²)

(d³y/dt³) = w (d²z/dt²)

y''' = wz''

y'''/w = z'' (1)

La ecuación diferencial (1) la reemplazamos en z'' = w E/B - wy' y obtenemos lo siguiente:

y'''/w = w E/B - wy'

y''' + w²y' = w²E/B (2)

Convertimos en homogénea la ecuación diferencial:

y''' + w²y' = 0 (3)

Sabemos que y = e^rt

y' = re^rt

y'' = r² e^rt

y''' = r³e^rt

Reemplazamos las derivadas correspondientes en la ecuación diferencial 3

r³ + w²r = 0

r(r² + w²) = 0

r = 0 ; y₁(t) = Ae^0t = A

r² + w² = 0

r₁ = iw y r₂ = -iw

y₂(t) = Be^iwt + Ce^-iwt

(Aun no estoy familiarizada como trabajar aquí, por eso están escritas así las ecuaciones)

[Luna28]

Muchas gracias!! Coincidimos hasta la ec. 3. Sim embargo, la notación lo revuelve un poco. Como lo planteo Al200 es más fácil llegar al resultado.

[Al2000]

Hola!!

Necesito ayuda para resolver el siguientes sistema de ecuaciones diferenciales, la sugerencia del libro es : they are easily solved by differentiating the first and using the second to eliminate z̈. Son ecuaciones de movimiento para una partícula en un campo magnético (Cycloid Motion). Cualquier ayuda es bienvenida, gracias.

$y''=\omega z'$

$Z''=\omega \dfrac {E}{B}-\omega y'$

Con diferencias en la notación y con lo que parece un error en la segunda ecuación, creo que lo que estás intentando hacer es lo que hice en el mensaje #10 de este viejo hilo. Míralo a ver si te sirve de algo-

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Luna28]

Excelente ayuda, la notación era problema. Lo hice como sugeriste y llegue el mismo resultado. Gracias.


Saludos

[Mishelle]

He tenido algunos errores y pude corregirlos, gracias por la observación y revise lo que hiciste, entiendo mas o menos lo que hiciste, pero no comprendo cual sería el error de la ecuación diferencial (2)

[Alriga]

Mishelle, en relación a tu resolución del problema, dices:

... Convertimos en homogénea la ecuación diferencial:

y''' + w²y' = 0 (3)

Sabemos que y = e^rt

Pero observa que la solución general de esa ecuación diferencial homogénea:

$y'''+\omega^2 y'=0$

Usando funciones reales es:

$y=\dfrac{c_1}{\omega}\sin \omega t+\dfrac{c_2}{\omega}\cos \omega t +c_3$

Ya que las soluciones de la ecuación polinómica:

$D^3+\omega^2 D=0$

$D(D^2+\omega^2)=0$

Son:

$D=0 \qquad D=\omega i \qquad D=-\omega i$

La ecuación diferencial completa es:

$y'''+\omega^2 y'=\dfrac E B \omega^2$

Y tiene como una solución particular:

$y=\dfrac E B t$

Por lo tanto la ecuación diferencial completa tiene como solución general:

$$y(t)=\dfrac E B t+\dfrac{c_1}{\omega}\sin \omega t+\dfrac{c_2}{\omega}\cos \omega t +c_3$$

Como:

$z''=\dfrac E B \omega -\omega y'$

Derivando, sustituyendo y operando obtenemos:

$z''=c_2\omega\sin \omega t-c_1\omega\cos \omega t$

Integrando 2 veces:

$$z(t)=\dfrac{c_1}{\omega}\cos \omega t -\dfrac{c_2}{\omega}\sin \omega t +k_1+k_2 t$$

Con lo cual el sistema de ecuaciones queda resuelto

... (Aun no estoy familiarizada como trabajar aquí, por eso están escritas así las ecuaciones)

Para escribir expresiones matemáticas, el foro posee un potente compilador de LaTeX que tiene una sintaxis muy fácil, se aprende en media hora, aquí tienes un tutorial: Cómo introducir ecuaciones en los mensajes y aquí puedes practicar tus fórmulas La web de Física - Prueba y ejemplos de LaTeX

Además si haces doble click sobre cualquier fórmula del foro verás el código en el que está escrita, si quieres copiarla, márcala con el ratón, con el botón de la derecha del ratón haz copiar, y a continuación entre medio de los corchetes [TEX] [/TEX]

[TEX]Pegar como texto sin formato[/TEX] ¡y ya tienes tu fórmula en LaTeX!

Tanto a Luna28 como Mishelle, como miembros recientes de La web de Física os será útil leer en detalle Consejos para conseguir ayuda de forma efectiva.

Saludos.

[Mishelle]

Genial! Ya me di cuenta cual era el problema de mi resolución...hace tiempo que no resolvía ecuaciones diferenciales pero ahora con tu explicación me ayudo recordar un poco mas!

Y gracias por el tip de LaTex, lo tendré muy en cuenta cuando vuelva a realizar alguna resolución de ecuaciones!