Consulta sobre transformación de un tensor de Faraday al pasar de un sistema de coordenadas S al S'.

[inakigarber]

Buenas noches.

Tengo una duda sobre un problema que he encontrado en este blog, cuando plantea el siguiente problema. Se trata de demostrar que el tensor de Faraday transforma como un tensor.
Para ello define el tensor de Faraday de la siguiente manera.
$F_{\alpha \beta}=\dfrac{\partial {A_\beta}}{\partial {x^\alpha}}-\dfrac{\partial {A_\alpha}}{\partial {x^\beta}}$
Define también;
$\bar{A_\beta}=\dfrac{\partial x^\gamma}{\partial \hat x^\beta}A_\gamma$
Aunque no lo menciona, entiendo que hace también la siguiente definición.
$\bar{A_\alpha}=\dfrac{\partial x^\delta}{\partial \hat x^\alpha}A_\delta$
porque a continuación pone la siguiente expresión.
$\hat {F_{\alpha \beta}}=\dfrac{\partial}{\partial \bar x^\alpha}\left[\dfrac{\partial x^\gamma}{\partial \bar x^\beta}A^\gamma\right]-\dfrac{\partial}{\partial \bar x^\beta}\left[\dfrac{\partial x^\delta}{\partial \bar x^\beta}A^\delta\right]$.
El paso siguiente consiste en aplicar a cada uno de los términos de la expresión la derivada del producto (la regla de Leibniz) con lo cual se obtiene;
$\hat {F_{\alpha \beta}}=\left[\dfrac{\partial^2 x^\gamma}{\partial \bar x^\alpha \partial\hat x^\beta}A_\gamma+\dfrac{\partial x^\gamma \partial A_\gamma}{\partial \bar x^\beta \partial x^\alpha}\right]-\left[\dfrac{\partial^2 x^\delta}{\partial \bar x^\alpha \partial\hat x^\beta}A_\delta+\dfrac{\partial x^\gamma \partial A_\delta}{\partial \bar x^\beta \partial x^\alpha}\right]$
Bien, hasta ahora creo que lo entiendo (espero no haberme equivocado al colocar los índices superiores en inferiores. Hay unos términos, concretamente los que tienen como numeradores $\partial ^2 x^\gamma$ y $\partial ^2 x^\delta$, que en el paso posterior desaparecen y no comprendo el porque, ya que pone;
$\bar{F_{\alpha \beta}}=\dfrac{\partial x^\gamma \partial x^\delta \partial A_\gamma}{\partial \bar x^\beta \partial \bar x^\alpha \partial \bar x^\delta}-\dfrac{\partial x^\delta \partial x^\gamma \partial A_\delta}{\partial \bar x^\beta \partial \bar x^\alpha \partial \bar x^\delta}$.
Estos últimos términos los obtiene multiplicando y dividiendo por $\partial x^\delta$ y por $\partial x^\gamma$ los terminos restantes, es decir aplicándoles la regla de la cadena, pero no entiendo porque desaparecen los términos mencionados con anterioridad. Solo entiendo dos formas para que se anulen, o bien ambos términos son iguales y se anulan, o bien ambos términos son nulos, lo cual significaría que $x^\gamma$ y $x^\delta$ son invariantes respecto a la doble derivada $\partial \bar x^\alpha \partial \bar x^\alpha$ que es lo que epiezo a sospechar.
¿Alguien puede aclararmelo?

Saludos y gracias.

[Richard R Richard]

Hola iñaki, creo que desaparecen porque la sumacion es en "todos" los indices dummy, es decir si bien esos indices van variando siempre esta el mismo termino sumando y luego restando...

[inakigarber]

Gracias por tu respuesta;

Ahora lo tengo más claro. Veamos;
$\dfrac{\partial^2 x^\gamma}{\partial \bar x^\alpha \partial \bar x^\beta}A_\gamma-\dfrac{\partial^2 x^\delta}{\partial \bar x^\alpha \partial \bar x^ \beta}A_\delta$, voy a prescindir de los otros términos. Yo puedo sustituir $\gamma$ y $\delta$ por sus valores posibles (1,2,3 y 4) con lo cual como tú decías los sumandos se anulan. Por otra parte, podía haber utilizado la norma según la cual puedo renombrar un índice repetido de un sumando por otro índice que no aparezca en dicho sumando y establecer $\gamma=\gamma$, con lo cual todo queda muy claro.

Saludos y gracias.