Sistema de ecuaciones diferenciales sencillo

[jluis_martin]

Hola, a ver si me podeis ayudar porque estoy muy atascado con los sistemas de ecuaciones diferenciales.

$Y'(x) =<br /> \begin{pmatrix}<br /> 2 & 0 & 1 \\<br /> 0 & 2 & 0 \\<br /> 0 & 1 & 3 \\<br /> \end{pmatrix}<br /> Y(x) +<br /> \begin{pmatrix}<br /> e^{2x} \\<br /> 0 \\<br /> e^{2x} \\<br /> \end{pmatrix}<br />$

Ya en el sistema homogeneo tengo varias dudas (más bien, no se hacerlo).

Obtengo dos valores propios:

$\lambda = 2$ (multiplicidad 2) $\rightarrow$ v.propio asociado $v_{\lambda2} = \begin{pmatrix}<br /> 1 \\<br /> 0 \\<br /> 0 \\<br /> \end{pmatrix}$

$\lambda = 3$ $\rightarrow$ v.propio asociado $v_{\lambda3} = \begin{pmatrix}<br /> 1 \\<br /> 0 \\<br /> 1 \\<br /> \end{pmatrix}$

Entiendo que debo obtener otra solución del valor propio $\lambda = 2$:

Para este valor propio:
$(A-\lambda I) = \begin{pmatrix}<br /> 0 & 0 & 1 \\<br /> 0 & 0 & 0 \\<br /> 0 & 1 & 1 \\<br /> \end{pmatrix}$


Por lo tanto, el otro vector que busco se puede obtener de hacer:

$\begin{pmatrix}<br /> 0 & 0 & 1 \\<br /> 0 & 0 & 0 \\<br /> 0 & 1 & 1 \\<br /> \end{pmatrix}<br /> \begin{pmatrix}<br /> v_{x} \\<br /> v_{y} \\<br /> v_{z} \\<br /> \end{pmatrix}<br /> =<br /> \begin{pmatrix}<br /> 1 \\<br /> 0 \\<br /> 0 \\<br /> \end{pmatrix}<br />$

De esto obtenego el vector:

$<br /> \begin{pmatrix}<br /> v_{x} \\<br /> v_{y} \\<br /> v_{z} \\<br /> \end{pmatrix}<br /> =<br /> \begin{pmatrix}<br /> v_{x} \\<br /> -1 \\<br /> 1 \\<br /> \end{pmatrix}<br />$

Y elijo el vector $\begin{pmatrix}<br /> 0 \\<br /> -1 \\<br /> 1 \\<br /> \end{pmatrix}<br />$

Y a partir de aquí vienen mis dudas porque no se construir la solución del sistema (eso si lo que he hecho es correcto).

Por mucho que construya las soluciones y compruebe, siempre hay algún término que baila.

Creía que la solución sería:

$<br /> y(x) = C_{1} \begin{pmatrix}<br /> 1 \\<br /> 0 \\<br /> 0 \\<br /> \end{pmatrix}<br /> e^{2x}<br /> +<br /> C_{1}x \begin{pmatrix}<br /> 1 \\<br /> 0 \\<br /> 0 \\<br /> \end{pmatrix}<br /> e^{2x}<br /> +<br /> C_{2} \begin{pmatrix}<br /> 0 \\<br /> -1 \\<br /> 1 \\<br /> \end{pmatrix}<br /> e^{2x}<br /> +<br /> C_{3} \begin{pmatrix}<br /> 1 \\<br /> 0 \\<br /> 1 \\<br /> \end{pmatrix}<br /> e^{3x}<br />$

Pero no me cuadra...

Me podríais echar una mano con esto por favor?

Muchas gracias.

[Abdulai]

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Creía que la solución sería:

$<br /> y(x) = C_{1} \begin{pmatrix}<br /> 1 \\<br /> 0 \\<br /> 0 \\<br /> \end{pmatrix}<br /> e^{2x}<br /> +<br /> C_{1}x \begin{pmatrix}<br /> 1 \\<br /> 0 \\<br /> 0 \\<br /> \end{pmatrix}<br /> e^{2x}<br /> +<br /> C_{2} \begin{pmatrix}<br /> 0 \\<br /> -1 \\<br /> 1 \\<br /> \end{pmatrix}<br /> e^{2x}<br /> +<br /> C_{3} \begin{pmatrix}<br /> 1 \\<br /> 0 \\<br /> 1 \\<br /> \end{pmatrix}<br /> e^{3x}<br />$

Pero no me cuadra...

El problema es el 2do coeficiente, pues
$y(x) =<br /> C_{1} \begin{pmatrix}<br /> 1 \\ 0 \\ 0 \\<br /> \end{pmatrix} e^{2x} +<br /> C_{2}x \begin{pmatrix}<br /> 1 \\ 0 \\ 0 \\<br /> \end{pmatrix} e^{2x} +<br /> C_{2} \begin{pmatrix}<br /> 0 \\ -1 \\ 1 \\<br /> \end{pmatrix} e^{2x} +<br /> C_{3} \begin{pmatrix}<br /> 1 \\ 0 \\ 1 \\<br /> \end{pmatrix} e^{3x}<br />$

Es solución de la homogénea.