1r ciclo Ecuación de Poisson en el semicírculo

[Alofre]

Buenas, estaba haciendo un problema de EDPs por separación de variables y me he encontrado con alguna dificultad. El problema es el que sigue:
$\nabla^2 u = r$ para $r<0, \theta \in [0,\pi) , ~ ~ ,u_\theta (r,0)=u_\theta (r,\pi)=0 ~~ ,u(2,\theta)=3$. Para resolverlo, en rasgos generales, he aplicado separación de variables (a la ecuación homogénea en polares) $u = R(r) \Theta (\theta)$, deduciendo tras imponer las condiciones de contorno para $\theta$ que $\Theta = A_n \cos n \theta , ~ n=0,1,2,...$. Entonces, con el objetivo de resolver la inhomogénea he propuesto una solución de la forma: $\displaystyle u(r, \theta) = a_0(r) + \sum_{n=1}^\infty a_n(r) \cos(n \theta)$.
AL introducir la solución en la ecuación inhomogénea llego a que puedo clasificar los $a_n$: por un lado tengo el caso n=0 $a_0 '' +a_0'/r = r$ y por otro el $n \neq 0$ que verificará $a_n'' + a_n' -n^2/r^2 a_n = 0$. Ambas ecuaciones están sujetas a la solución de "sentido fisico" es decir, estar acotadas, y a$a_n(2)=3$. He resuelto el caso n=0 obteniendo $a_0 = 1/9 r^3 +19/9$. Hasta aquí todo concuerda con el solucionario. Ahora, resulta que en el solucionario pone directamente $a_n (r) = 0 ~ \forall n >0$ cosa en la que discrepamos. Me explico: he resuelto la ecuación diferencial antes mencionada (que es de Euler) obteniendo $a_n = c_1 r^n + c_2 r^{-n}$. Para que no diverga en 0 exigo $c_2=0$. Pero la otra condición ($r(2)=3$) no hace $c_1=0$ que yo sepa...

Agradecería si alguien pudiese aclararme un poco las ideas. Muchas gracias!!!