Divulgación ecuaciones diferenciales de primer orden

[jazmin118]

Buenas noches, quería ver si me pueden apoyar por favor con la siguiente ecuación:

(x+1)y'=xy para y(0)=1 ya que al resolverla a mi me da un resultado diferente, me indican que la solucion es y=x2 - 6x2 + 7

de antemano muchisimas gracias

Saludos!

[Richard R Richard]

Re: ecuaciones diferenciales de primer orden

$(x+1)y'=xy$

$(x+1)\dfrac{dy}{dx}=xy$

$\dfrac{dy}{y}=\dfrac{x}{x+1}dx$

$\dst\int\dfrac{dy}{y}=\int\dfrac{x}{x+1}dx=\int\dfrac{z-1}{z}dz=\int dz-\int\dfrac{1}{z}dz$

$Ln y=z-Ln z=x+1 -Ln(x+1)$

$y=\ee^{x+1 -Ln(x+1)}=\dfrac{\ee^{x+1}}{x+1}+C$

Para que $y(0)=1$

$C=-\ee+1$

$y=\dfrac{\ee^{x+1}}{x+1}-\ee+1$

[Alriga]

Re: ecuaciones diferenciales de primer orden

Hola jazmin118, bienvenida a La web de Física. Como nuevo miembro, por favor lee atentamente Consejos para conseguir ayuda de forma efectiva

Hasta la 4ª línea de la solución que te aporta Richard todo es correcto, pero en la 5ª línea de hay un pequeño error tipográfico que se acumula y lleva a que el resultado final no sea el correcto, observa que debe ser:

$\ln y=(x+1)-\ln(x+1)+C$

$\ln y=x-\ln(x+1)+1+C$

$y=e^{x-\ln(x+1)+1+C}$

$y=e^x \cdot e^{- \ln(x+1)} \cdot e^{C+1}$

$y=\dfrac{e^x \cdot K}{e^{\ln(x+1)}}$

$y=\dfrac{K \cdot e^x}{x+1}$

Aplicando la condición inicial:

$y(0)=1$ se obtiene $K=1$

Por lo tanto, la solución es:

$\boxed{y=\dfrac{e^x}{x+1}}$

... me indican que la solucion es y=x2 - 6x2 + 7 ...

Resolver una ecuación diferencial puede ser más o menos difícil, en este caso al ser una ecuación de variables separadas no ha sido muy difícil pues por suerte la integral no era demasiado complicada. Pero aunque la resolución pueda ser más o menos difícil, si te dan una posible solución comprobar si realmente lo es o no, suele ser fácil. Comprobemos por ejemplo si es solución:

a)

$$y=x^2-6x+7$$

$y'=2x-6$

El miembro izquierdo de la ecuación diferencial será:

$(x+1)y'=(x+1)(2x-6)$

$$(x+1)y'=2x^2-4x-6$$

El miembro derecho de la ecuación diferencial será:

$x \ y=x \ (x^2-6x+7)$

$$x \ y=x^3-6x^2+7x$$

Si $y=x^2-6x+7$ fuese una solución las expresiones (2) y (3) saldrían iguales, pero como

$$2x^2-4x-6 \neq x^3-6x^2+7x$$

eso significa que la expresión (1) no es solución de la ecuación diferencial.

b)

Comprobemos ahora si es solución:

$$y=\dfrac{e^x}{x+1}$$

Derivando:

$y'=\dfrac{x \ e^x}{(x+1)^2}$

El miembro izquierdo de la ecuación diferencial será:

$$(x+1) y'=\dfrac{x \ e^x}{x+1}$$

El miembro derecho de la ecuación diferencial será:

$$x \ y=\dfrac{x \ e^x}{x+1}$$

Son iguales, por lo tanto la expresión (5) es solución de la ecuación diferencial.

Saludos.

[Richard R Richard]

Re: ecuaciones diferenciales de primer orden

Hola alriga comprendo que la constante de integración debí ponerla en la linea anterior . aun así comprobé que es solución también a menos que medie otro despiste. Saludos

[Alriga]

Re: ecuaciones diferenciales de primer orden

Uff amigo, ya me haces dudar, pero es que a mí me sale que no cumple la ecuación diferencial:

$y=\dfrac{\ee^{x+1}}{x+1}-\ee+1$

$y'=\dfrac{x \ \ee^{x+1}}{(x+1)^2}$

Lado izquierdo:

$$(x+1) \ y'=\dfrac{x \ \ee^{x+1}}{x+1}$$

Lado derecho:

$x \ y=x \left (\dfrac{\ee^{x+1}}{x+1}-e+1 \right )$

$$x \ y=\dfrac{x \ \ee^{x+1}}{x+1}-x (e-1)$$

$\dfrac{x \ \ee^{x+1}}{x+1} \neq \dfrac{x \ \ee^{x+1}}{x+1}-x (e-1)$

Las expresiones (1) y (2) no son iguales a no ser que sea yo el que comete el despiste (que no digo que no, que ya me ha pasado aquí otras varias veces)

Saludos.

[Richard R Richard]

Re: ecuaciones diferenciales de primer orden

soy yo el equivocado ...no hice tiempo de borrar el mensaje mil perdones

[Schwarze97]

Re: ecuaciones diferenciales de primer orden

Puedes hacerla por separación de variables, que sería lo más fácil. Al darte la condición de que $y(0)=1$, si no me equivoco puedes transformar por Laplace a los dos lados y debería salir fácilmente también; aunque más sencillo que separando variables no vas a encontrar nada.

[Alriga]

Re: ecuaciones diferenciales de primer orden

... Puedes hacerla por separación de variables, que sería lo más fácil ...

Sí, separando variables, así es como la hemos resuelto entre Richard y yo.

... Al darte la condición de que $y(0)=1$, si no me equivoco puedes transformar por Laplace a los dos lados y debería salir fácilmente también ...

En efecto es posible que así sea, pero como jazmin118 dice que su nivel es "Secundaria", seguro que todavía no ha debido aprender Transformadas de Laplace

Saludos.