1r ciclo La matemática del apocalipsis zombi

[Marianito]

Hola.
Estoy viendo el material denominado WHEN ZOMBIES ATTACK!: MATHEMATICALMODELLING OF AN OUTBREAK OF ZOMBIEINFECTION:
http://mysite.science.uottawa.ca/rsmith43/zombies.pdf

Estoy intentando resolver el sistema de ecuaciones diferenciales que plantea:

$<br /> \begin{array}{l}<br /> \frac{{dS}}{{dt}} = \Pi - \beta SZ - \delta S\\<br /> \\<br /> \frac{{dZ}}{{dt}} = \beta SZ + \zeta R - \alpha SZ\\<br /> \\<br /> \frac{{dR}}{{dt}} = \delta S + \alpha SZ - \zeta R<br /> \end{array}$

El problema que tengo es que todo lo que sé es respecto a sistemas de dos ecuaciones diferenciales con dos funciones y sus derivadas y este es de 3x3
Entiendo, por ejemplo, el método de determinantes para sistemas de 2x2, escribiendo en forma de operadores diferenciales y demás, pero no sé si sea aplicable a este sistema.

Saludos y gracias de antemano (en el comentario de Alriga está el link actualizado)

[Alriga]

Re: La matemática del apocalipsis zombi

... Estoy viendo el material (ya bastante viejo, del 2009) denominado WHEN ZOMBIES ATTACK!: MATHEMATICALMODELLING OF AN OUTBREAK OF ZOMBIE INFECTION:
http://mysite.science.uottawa.ca/rsmith43/zombies.pdf

Hola Marianito, bienvenido a La web de Física, por favor como miembro reciente lee atentamente Consejos para conseguir ayuda de forma efectiva

El link que has puesto no funciona, supongo que te refieres a When zombies attack!: Mathematical modelling of an outbreak of zombie infection

También Mathematical modelling of an outbreak of zombie infection

Saludos.

[Marianito]

Re: La matemática del apocalipsis zombi

Hola Marianito, bienvenido a La web de Física, por favor como miembro reciente lee atentamente Consejos para conseguir ayuda de forma efectiva

El link que has puesto no funciona, supongo que te refieres a When zombies attack!: Mathematical modelling of an outbreak of zombie infection

También Mathematical modelling of an outbreak of zombie infection

Saludos.

Hola muchas gracias. Si ese es el material, pensé que funcionaba el link que es un pdf.
Estoy trabado con la resolución de ese sistema de 3 ecuaciones diferenciales con 3 funciones


Ya paso por el foro que me comentas a leer las normas

¡Saludos!

[Alriga]

Re: La matemática del apocalipsis zombi

... Entiendo, por ejemplo, el método de determinantes para sistemas de 2x2, escribiendo en forma de operadores diferenciales y demás, pero no sé si sea aplicable a este sistema ...

Supongo que te refieres al método de resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales LINEALES de coeficientes constantes: Wikipedia: Sistemas lineales de coeficientes constantes

Ese método se puede aplicar, como su nombre indica cuando el sistema es lineal de coeficientes constantes.

... El problema que tengo es que todo lo que sé es respecto a sistemas de dos ecuaciones diferenciales con dos funciones y sus derivadas y este es de 3x3 ...

Si tu sistema fuese LINEAL de COEFICIENTES CONSTANTES, podrías aplicar este método de resolución a 2x2, 3x3 y en general NxN. El problema es que tu sistema

$\begin{array}{l}<br /> \dfrac{{dS}}{{dt}} = \Pi - \beta SZ - \delta S\\<br /> \\<br /> \dfrac{{dZ}}{{dt}} = \beta SZ + \zeta R - \alpha SZ\\<br /> \\<br /> \dfrac{{dR}}{{dt}} = \delta S + \alpha SZ - \zeta R<br /> \end{array}$

aunque SÍ es de coeficientes contantes, puesto que $\Pi$, $\beta$, $\delta$, $\zeta$ y $\alpha$ son constantes, NO es lineal puesto que contiene productos de variables, el producto SZ está en las 3 ecuaciones, aunque para que el sistema sea no lineal hubiese sido suficiente con que el producto estuviese en al menos 1 de las ecuaciones. Tu sistema sería lineal si por ejemplo fuese así:

$\begin{array}{l}<br /> \dfrac{{dS}}{{dt}} = \Pi - \beta Z - \delta S\\<br /> \\<br /> \dfrac{{dZ}}{{dt}} = \beta S + \zeta R - \alpha Z\\<br /> \\<br /> \dfrac{{dR}}{{dt}} = \delta S + \alpha Z - \zeta R<br /> \end{array}$

Pero desafortunadamente no lo es. Para sistemas no lineales no existen métodos algebraicos generales de solución, lo normal es que no tengan solución algebraica*, (excepto algún caso especial) y que deban resolverse mediante métodos numéricos.

Saludos.

* Ello no debería extrañarte si recuerdas que hay muchas integrales que no tienen solución algebraica, por ejemplo no tienen solución algebraica:

$\dst \int \ee^{-x^2} dx$

$\dst \int \dfrac{\ee^x}x \ dx$

$\dst \int \dfrac{dx}{\ln x}$

$\dst \int \dfrac{\sin x}x \ dx$ ...

[Marianito]

Re: La matemática del apocalipsis zombi

Supongo...

Muchas gracias. Ahora me queda claro. Voy a ver el material de métodos numéricos e intentar aplicar al sistema a ver si se puede aproximar alguna solución.

Saludos!

- - - Actualizado - - -

Si, por ejemplo, despejo de las tres ecuaciones SZ (que es el producto de funciones que hace que el sistema sea no lineal) y formo dos nuevas ecuaciones diferenciales que esta vez serán lineales de coeficientes constantes ¿Se pueden resolver y obtener solución algebraica? Lo que noto es que se me forman dos ecuaciones con 3 funciones y sus derivadas y a esto también lo veo raro.
Saludos

[Alriga]

Re: La matemática del apocalipsis zombi

... Si, por ejemplo, despejo de las tres ecuaciones SZ (que es el producto de funciones que hace que el sistema sea no lineal) y formo dos nuevas ecuaciones diferenciales que esta vez serán lineales de coeficientes constantes ...

No, no lo son. Ecuación lineal de coeficientes constantes significa que a un lado de la igualdad tienes la derivada de una de las funciones y al otro lado una combinación lineal de las funciones en la que los coeficientes son constantes, justo el ejemplo del segundo sistema de ecuaciones que te he puesto en el post #4. Ninguna manipulación algebraica de un sistema como el primero que figura en post #4 te lo va a transformar en algo parecido al segundo sistema, es decir, el sistema:

$\begin{array}{l}\dfrac{dS}{dt} = \Pi - \beta SZ - \delta S\\<br /> \\<br /> \dfrac{dZ}{dt} = \beta SZ + \zeta R - \alpha SZ\\<br /> \\<br /> \dfrac{dR}{dt} = \delta S + \alpha SZ - \zeta R<br /> \end{array}$

No se puede transformar mediante manipulaciones algebraicas en un sistema:

$\begin{array}{l}\dfrac{dS}{dt} = aS+bZ+cR+A(t)\\<br /> \\<br /> \dfrac{dZ}{dt} = dS+eZ+fR+B(t)\\<br /> \\<br /> \dfrac{dR}{dt} =gS+hZ+iR+C(t)<br /> \end{array}$

Con a, b, c, d, e, f, g, h, i constantes y A(t), B(t), C(t) funciones explícitas de t

Saludos.

[Richard R Richard]

Re: La matemática del apocalipsis zombi

Más allá de que el modelo es sólo resoluble por metodos de analisis numérico, (no se pueden obtener las funciones )
mi aporte es más que nada cualitativo y un tanto lógico diría, y va dirigido a que sabiendo que la cantidad de muertos $R$ siempre aumenta en el tiempo (cualquiera sea la causa de fallecimiento) y que si $\zeta$ es constante, la cantidad de zombies aumentará con el tiempo t (no proporcionalmente, pero si constantemente) tanto que no habrá tasa de natalidad constante que genere la cantidad de humanos necesaria que los pueda combatir, en mi modo de ver el problema si $\zeta$ es constante los Zombies tarde o temprano siempre vencerán.

Interpretando este problema como un grifo que vierte agua a una pileta que siempre puede contener cada vez más agua y en ella se agrega tinta, siempre el contenido acabará coloreado, a menos que haya una forma de extraer el color, que por el enunciado no hay forma, porque cuando se " mata al zombie" este puede volver a reanimarse, y eso le da la ventaja al zombie, en cambio si una vez que se lo mata , este no se reanima nuevamente, entonces la ventaja es humana, con una tasa de reanimación que desciende asintóticamente en el tiempo, el equilibrio depende de las otras tasas.

[Marianito]

Re: La matemática del apocalipsis zombi

Más allá de que el modelo es sólo resoluble por metodos de analisis numérico, (no se pueden obtener las funciones )
mi aporte es más que nada cualitativo y un tanto lógico diría, y va dirigido a que sabiendo que la cantidad de muertos $R$ siempre aumenta en el tiempo (cualquiera sea la causa de fallecimiento) y que si $\zeta$ es constante, la cantidad de zombies aumentará con el tiempo t (no proporcionalmente, pero si constantemente) tanto que no habrá tasa de natalidad constante que genere la cantidad de humanos necesaria que los pueda combatir, en mi modo de ver el problema si $\zeta$ es constante los Zombies tarde o temprano siempre vencerán.

Interpretando este problema como un grifo que vierte agua a una pileta que siempre puede contener cada vez más agua y en ella se agrega tinta, siempre el contenido acabará coloreado, a menos que haya una forma de extraer el color, que por el enunciado no hay forma, porque cuando se " mata al zombie" este puede volver a reanimarse, y eso le da la ventaja al zombie, en cambio si una vez que se lo mata , este no se reanima nuevamente, entonces la ventaja es humana, con una tasa de reanimación que desciende asintóticamente en el tiempo, el equilibrio depende de las otras tasas.

Claro. Exactamente aunque no entiendo cuando más abajo dice:

$si\,t \to \infty \,y\,si\,\Pi \ne 0\, \Rightarrow S\not \to \infty$

Por otra parte, según el gráfico de la página 4 los Z se eliminan definitivamente si se les destruye el cerebro. Es decir que de R a Z sólo pueden volver los que tienen el cerebro sano. Entonces los retirados no volverían a zombificarse indefinidamente. En algún momento se los podría eliminar del todo a los Z.
Saludos

[Richard R Richard]

Re: La matemática del apocalipsis zombi

Claro. Exactamente aunque no entiendo cuando más abajo dice:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Significa que a tiempo infinito la cantidad de susceptibles no puede ser infinita del mismo modo que si puede serlo R y Z

Por otra parte, según el gráfico de la página 4 los Z se eliminan definitivamente si se les destruye el cerebro. Es decir que de R a Z sólo pueden volver los que tienen el cerebro sano. Entonces los retirados no volverían a zombificarse indefinidamente. En algún momento se los podría eliminar del todo a los Z.
Saludos

Si bien considera esa tasa de decremento de zombies y de aumento de muertos, $\zeta$ multiplica a la totalidad de los muertos sin importar que tenga o no cerebro.