Otras carreras Aceleracion variable - problema

[rmbriend]

Hola, soy nuevo en el foro y recurrí al mismo porque no logro resolver un problema, estoy iniciando mis estudios de física en la universidad online Bircham.

Me enviaron el libro de física para la ciencia y la tecnología de Tipler y Mosca Volumen 1, en el mismo hay un ejercicio que no logro resolver.

El problema es el siguiente: Una piedra se hunde en el agua con un aceleración que decrece con el tiempo según ${a}_{ y} = g - b{v}_{y'}$ donde b es una constante positiva (la dirección +y eta dirigida hacia abajo). Demostrar matemáticamente que si la roca empieza a hundirse cuando t=0, la aceleración dependerá del tiempo exponencialmente de acuerdo con ${a}_{y}(t) = g{e}^{-bt}$

Si alguien me puede dar una pista por donde encararlo lo agradecere enormemente.

Saludos

[arivasm]

Re: Aceleracion variable - problema

Una primera salida, nada elegante, consiste en sustituir directamente, de manera que como $g\ee^{-bt}=g-bv_y$, tenemos que $v_y=\dfrac{g}{b}(1-\ee^{-bt})$. Al derivar respecto del tiempo ciertamente tenemos que $a_y(t)=g\ee^{-bt}$

Más elegante es hacer uso de que si $a_y=g-bv_y$ entonces tenemos la ecuación diferencial $\dfrac{\dd v_y}{\dd t}=g-bv_y$, luego $\dst\int_0^{v_y}\dfrac{\dd v_y}{g-b v_y}=\int_0^t\dd t=t$. Haz la integral, despeja $v_y(t)$ (deberás encontrar lo escrito anteriormente, $v_y=\dfrac{g}{b}(1-\ee^{-bt})$) y deriva para obtener la dependencia temporal de la aceleración.

[rmbriend]

Re: Aceleracion variable - problema

Una primera salida, nada elegante, consiste en sustituir directamente, de manera que como $g\ee^{-bt}=g-bv_y$, tenemos que $v_y=\dfrac{g}{b}(1-\ee^{-bt})$. Al derivar respecto del tiempo ciertamente tenemos que $a_y(t)=g\ee^{-bt}$

Más elegante es hacer uso de que si $a_y=g-bv_y$ entonces tenemos la ecuación diferencial $\dfrac{\dd v_y}{\dd t}=g-bv_y$, luego $\dst\int_0^{v_y}\dfrac{\dd v_y}{g-b v_y}=\int_0^t\dd t=t$. Haz la integral, despeja $v_y(t)$ (deberás encontrar lo escrito anteriormente, $v_y=\dfrac{g}{b}(1-\ee^{-bt})$) y deriva para obtener la dependencia temporal de la aceleración.

Muchas gracias! la forma poco elegante la comprendo perfectamente, la elegante se me escapa cuando igualas las integrales entre si a t, pero seguire analizando tu respuesta hasta que la comprenda! gracias nuevamente.

[Alriga]

Re: Aceleracion variable - problema

Hola rmbriend, bienvenido a La web de Física, por favor como miembro reciente lee atentamente Consejos para conseguir ayuda de forma efectiva

se me escapa cuando igualas las integrales entre si a t ...

Es integrar la función f(t)=1 con límites de integración "0" y "t"

$\dst \int_0^t\dd t=\int_0^t 1 \cdot \dd t=\Big [t \Big]_0^t=t-0=t$

La otra integral sale:

$\dst\int_0^{v_y}\dfrac{\dd v_y}{g-b v_y}=-\dfrac 1 b \Big [\ln(g-b v_y)\Big ]_0^{v_y}=$

$=-\dfrac 1 b \Big (\ln(g-b v_y)-\ln g \Big )=\dfrac 1 b \ln \Big (\dfrac b g v_y - 1 \Big )$

Iguala las dos expresiones.

$\dfrac 1 b \ln \Big (\dfrac b g v_y - 1 \Big )=t$

Y despeja $v_y$

Después, derivándola obtendrás $a_y$

Saludos.

[rmbriend]

Re: Aceleracion variable - problema

Hola rmbriend, bienvenido a La web de Física, por favor como miembro reciente lee atentamente Consejos para conseguir ayuda de forma efectiva



Es integrar la función f(t)=1 con límites de integración "0" y "t"

$\dst \int_0^t\dd t=\int_0^t 1 \cdot \dd t=\Big [t \Big]_0^t=t-0=t$

La otra integral sale:

$\dst\int_0^{v_y}\dfrac{\dd v_y}{g-b v_y}=-\dfrac 1 b \Big [\ln(g-b v_y)\Big ]_0^{v_y}=$

$=-\dfrac 1 b \Big (\ln(g-b v_y)-\ln g \Big )=\dfrac 1 b \ln \Big (\dfrac b g v_y - 1 \Big )$

Iguala las dos expresiones.

$\dfrac 1 b \ln \Big (\dfrac b g v_y - 1 \Big )=t$

Y despeja $v_y$

Después, derivándola obtendrás $a_y$

Saludos.

Consulta, en el paso $\dst\int_0^{v_y}\dfrac{\dd v_y}{g-b v_y}=-\dfrac 1 b \Big [\ln(g-b v_y)\Big ]_0^{v_y}=$

Integras por sustitucion previo multiplicar por $\frac{b}{b}$ para lograr la forma $\frac{dx}{x}$ integrable como ln |x| multiplicado por $d{v}_{y }$ ergo ejecutando la integral definida entre ${v}_{y}$ y 0? entendi bien?

Muchas gracias

[Alriga]

Re: Aceleracion variable - problema

Consulta, en el paso $\dst\int_0^{v_y}\dfrac{\dd v_y}{g-b v_y}=-\dfrac 1 b \Big [\ln(g-b v_y)\Big ]_0^{v_y}$

Hago el cambio de variable

$u=g-b \ v_y$

$du=-b \ dv_y$

Sustituyendo

$\dst\int \dfrac{\dd v_y}{g-b v_y}=-\dfrac 1 b \int \dfrac{du}u=-\dfrac 1 b \ln u$

Deshaciendo el cambio

$\dst\int \dfrac{\dd v_y}{g-b v_y}=-\dfrac 1 b \ln (g-b v_y)$

Y ahora se aplica la Regla de Barrow, con límites de integración "" y "$v_y$"

$\dst\int_0^{v_y}\dfrac{\dd v_y}{g-b v_y}=-\dfrac 1 b \Big [\ln(g-b v_y)\Big ]_0^{v_y}$

Saludos.

[Guillem_dlc]

Re: Aceleracion variable - problema

Debido a que la aceleración de la piedra es una función del tiempo, no es constante. Elija un sistema de coordenadas en el que hacia abajo sea positivo y el origen en el punto de liberación de la roca.

Separe las variables en $a(t)=dv/dt=ge^{-bt}$ para obtener:

$dv = ge^{-bt}$

Integrar de $t_0 = 0$, $v_0=0$ a un momento posterior $t$ y velocidad $v$:

$v=\int_0^v dv'=\int_0^t ge^{-bt'}dt'=\dfrac{g}{-b}\left[ e^{-bt'}\right]_0^t=\dfrac{g}{b}\left( 1-e^{-bt}\right)$

Saludos