Otras carreras Ejercicios raros

[DMazrmx]

Hola a todos, recien paso mi examen y recuerdo muy bien dos ejercicios muy extraños que a primera vista me parecian faciles pero que no lo eran, el primero era este:
$y^{\prime}=\tan^2{(x+y)}$, use propiedades trignometricas para simplificar y la integral me quedo como:
$y=x+\sec{(x+y)}+c$, no se si eso sea legal.

El otro ejercicio era:
$\frac{dy}{dx}=\frac{x\sec{(y/x)}+y}{x}$, este ejercicio era por separacion de variables, nunca las pude separar y nuevamente integre a lo bestia, intercambiando la secante por un coseno $\sec{(y/x)}=\cos{(x/y)}$, por lo que al final me quedo:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , me podrian entonces indicar la metodologia o el resultado verdadero para hacerlos, es que de momento no se me ocurre ninguna otra forma, gracias.

[Metaleer]

Re: Ejercicios raros

Hola,

Para la primera ecuación lo que yo haría es el cambio de variable $u \equiv x + y$, con lo que quedaría:

$\displaystyle y = u - x \Rightarrow y' = u' - 1 \Rightarrow \{sustituyendo~en~la~EDO\}\Rightarrow u' - 1 = \tan^2 (u) \Rightarrow u' = \tan^2 (u) +1 \Rightarrow \frac{du}{dx} = \tan^2 (u) + 1 \Rightarrow \frac{du}{\tan^2 (u) + 1} = dx \Rightarrow \int \frac{du}{\tan^2 (u) + 1} = \int dx$

Para resolver la primera integral, puedes hacer un cambio de variable $\displaystyle t = \tan u \Rightarrow \arctan t = u \Rightarrow \frac{1}{1+t^2}dt = du$ que sustituyendo da una integral racional. Cuando deshaces el cambio, debería quedarte:

$\displaystyle \int \frac{du}{\tan^2 (u) + 1} = \frac{1}{2}(u + \cos (u) \sin (u)) + A$

Con lo que tienes:

$\displaystyle \frac{1}{2}(u + \cos (u) \sin (u)) + A = x + B \Rightarrow \frac{1}{2}(u + \cos (u) \sin (u)) = x + C$

Deshaciendo el cambio de variable, obtienes que:

$\displaystyle\frac{1}{2}(x + y + \cos (x + y) \sin (x + y)) = x + C$

Que es la forma implícita de la solución que buscas; no estoy seguro si puedes despejar $y$ en función de $x$, además en todo caso habría que analizar en primer lugar en torno a qué punto puedes hacer tal "despeje", con el Teorema de la Función Implícita, y habría que ver si ese despeje coincide con lo que tú dices.

Para la segunda ecuación, tienes que

$\displaystyle y' = \frac{x \sec(y/x) + y}{x} = \sec\left(\frac{y}{x}\right) + \frac{y}{x}$

El formato de la ecuación resultante sugiere el cambio de variable $u \equiv y/x$ (esta $u$ no es la misma que antes). Por tanto:

$y = ux \Rightarrow y' = u'x + u \Rightarrow \{sustituyendo~en~la~EDO\}\Rightarrow u'x + u = \sec(u) + u \Rightarrow u'x = \sec(u)$

Que es de variables separables. Integras y deshaces el cambio de variable, para recuperar la solución en forma implícita de tu ecuación diferencial.

Saludos.

[DMazrmx]

Re: Ejercicios raros

Gracias por la respuesta, el primero ya lo habia entendido, el segundo aun no me quedaba claro, bueno gracias