1r ciclo Solución de ED de orden 2 no homogenea por Series

[M_Odes]

Buen día amgos del Foro, he intentado solucionar la siguiente Ecuación Diferencial mediante el uso de series pero me encuentro con un lio al final despues de homogenizar los exponentes en las series

$y''-xy'+y=-x\cos x$

suponiendo solución de la forma

$y=\sum_{k=0}^{\text{\ensuremath{\infty}}}A_{k}x^{k}$

Derivando obtendremos :

$y'=\sum_{k=1}^{\text{\ensuremath{\infty}}}kA_{k}x^{k-1}$

$y''=\sum_{k=2}^{\text{\ensuremath{\infty}}}k(k-1)A_{k}x^{k-2}$

lo proximo que hago es expresar el coseno en serie de potencias McLaurin
$\cos x=\sum_{k=0}^{\text{\ensuremath{\infty}}}\frac{(-1)^{k} x^{2k}}{(2k)!}$ comienzo a jugar con los subindices k en las series para tratar de expresar todo en terminos de una sumatoria a la izquierda, y otra a la derecha (la del coseno) luego encontar un el $A_{k}$ para mi solución $y=\sum_{k=0}^{\text{\ensuremath{\infty}}}A_{k}x^{k}$ y ahi es donde me confundo para terminar el problema...
en resumen debo demostrar que la solución, dadas las condiciones iniciales $y(0)=0$ $y'(0)=2$, es $y= x +\sin x$

Agradezco sus sugerencias

[Jose D. Escobedo]

Re: Solución de ED de orden 2 no homogenea por Series

Si la solucion es:

$y = x + \sin x \Rightarrow$

$y' = 1 + \cos x$...(1)

$y'' = -\sin x$...(2)

luego si se sustituye (1) y (2) en:$y'' +x y' + y$ se obtiene que:

$-\sin x +x( 1+ \cos x) + x + \sin x = 2x +x \cos x \neq -x \cos x$

Entonces la ecuacion diferencial deveria ser:
$y'' + x y' +y = 2x +x \cos x$...(3)

y para resolver esta ecuacion te recomendaria usar la serie de Taylor ya que se facilita mas que a serie que estas tratando de usar, porque se tiene muchos terminos no lineales devido al coseno.

The "Taylor series" es: $\displaystyle y = f(0) + (x-0)f'(0) + (x-0)^2 \frac{f''(0)}{2 !} + (x-0)^3 \frac{f'''(0)}{3!} +...$

De donde para encontrar las derivadas$f^i(0)$ se tiene que derivar ambos lados de la ecuacion (3) utilizando posteriormente los valores de las condiciones iniciales.

[carroza]

Re: Solución de ED de orden 2 no homogenea por Series

Buen día amgos del Foro, he intentado solucionar la siguiente Ecuación Diferencial mediante el uso de series pero me encuentro con un lio al final despues de homogenizar los exponentes en las series

$y''+xy'+y=-x\cos x$

Hola.

Para mi que hay un error en el enunciado. Si tu ecuación fuera
$y''-xy'+y=-x\cos x$

Entonces puedes ver que $y_{in}(x)=\sin(x)$ es una solución particular de la ecuación inhomogenea, con lo que te queda que debes obtener una solución general de la ecuación homogénea

$y"-xy'+y=0$

Si desarrollas en serie de taylor las soluciones de esta ecuación, encuentras que $y_h(x)=a x$ es la solución general de la homogenea (que es regular en el origen).

Por tanto tu solución general es

$y(x) = ax + \sin(x)$.

Aplicando las condiciones de contorno, sale $a=1$

[M_Odes]

Re: Solución de ED de orden 2 no homogenea por Series

Hola.

Para mi que hay un error en el enunciado.

Tienes Razón, voy a corregir mi post

[M_Odes]

Re: Solución de ED de orden 2 no homogenea por Series

Encontre otra manera de dar solución a este problema...

Todo lo que necesitamos saber son las condiciones Iniciales de la ecuación para el mismo punto, ($x=0$ en nuestro caso)al menos para $y$' y $y''$ (ahora que lo pienso, si la ED fuera de orden $n$ y quisieramos solucionarla mediante este método necesitariamos $n-1$ condiciones???) y el Teorema Taylor, es decir saber que al rededor de un punto dado(o sea, en un entorno del punto)$x=a$una función $y=f(x)$ admite ser expresada como solucion en serie de potencias:
$y(x)= \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(x-a)^{n}$

ahora, operemos un poco con la ED dada y la condiciones de la misma:

$y''-xy'+y=-x\cos x$
$y''(x)=xy'(x)-y(x)-x\cos x$.....(1) $y'(0)=2$ , $y(0)=0$.....(c)

hagamos $x=0$:

$y''(0)=(0)y'(0)-y(0)-(0)\cos(0) = 0$.....(2)

derivando a ambos lados de (1) respecto a x:

$y'''(x)= xy''(x)-\cos x+x\sin x$
$y^{(4)}(x)= y''(x) + xy'''(x)+2\sin x +x\cos x$
$y^{(5)}(x)= 2y'''(x) + xy^{(4)}(x)+3\cos x - x\sin x$
$y^{(6)}(x)= 3y^{(4)}(x) + xy^{(5)}(x)- 4\sin x - x\cos x$
$y^{(7)}(x)= 4y^{(5)}(x) + xy^{(6)}(x)-5\cos x + x\sin x$

y reemplazando las condiciones (c) en (1) y sucesivamente observamos que

$y^{(0)}(0)= 0$
$y^{(1)}(0)= 2$
$y^{(2)}(0)= 0$
$y^{(3)}(0)= -1$
$y^{(4)}(0)= 0$
$y^{(5)}(0)= 1$
$y^{(6)}(0)= 0$
$y^{(7)}(0)= -1$

Si suponemos que la solución es de la forma :

$y(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac {y^{k}(0)}{k!}x^{k}$

notamos que este patron obtenido obecede a la serie taylor:

$\frac{y^{(0)}(0)x^{0}} {0!} + \frac{y^{(1)}(0)x^{0}} {1!} + ... +\frac{y^{(k)}(0)x^{k}} {k!}+... = 2x - \frac{x^{3}}{3!} +\frac{x^{5}}{5!} -\frac{x^{7}}{7!} +... \frac{(-1)^{k}x^{2k+1}}{(2k+1)!}$

Reordenando:

$x + (x - \frac{x^{3}}{3!} +\frac{x^{5}}{5!} -\frac{x^{7}}{7!} +... \frac{(-1)^{k}x^{2k+1}}{(2k+1)!})$

la parte entre paréntesis corresponde a la expanción en serie de potencias Mclaurin entorno a cero, así finalmente:

$y(x)=x +\sin x$

de una forma no tan trabajosa como parece, pero si muy interesante.

Hasta la Proxima