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Solución de ED de orden 2 no homogenea por Series

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  • 1r ciclo Solución de ED de orden 2 no homogenea por Series

    Buen día amgos del Foro, he intentado solucionar la siguiente Ecuación Diferencial mediante el uso de series pero me encuentro con un lio al final despues de homogenizar los exponentes en las series



    suponiendo solución de la forma



    Derivando obtendremos :





    lo proximo que hago es expresar el coseno en serie de potencias McLaurin
    comienzo a jugar con los subindices k en las series para tratar de expresar todo en terminos de una sumatoria a la izquierda, y otra a la derecha (la del coseno) luego encontar un el para mi solución y ahi es donde me confundo para terminar el problema...
    en resumen debo demostrar que la solución, dadas las condiciones iniciales , es

    Agradezco sus sugerencias
    Última edición por M_Odes; 13/03/2009, 20:08:06. Motivo: Error, Cambio [tex] y''+xy'+y=-x\cos x [/tex] por [tex] y''-xy'+y=-x\cos x [/tex]
    "Las más formidables armas del hombre para su conquista del Conocimiento son la mente racional y la insaciable curiosidad que lo impulsa"
    I. Asimov
    En ocasiones bloggeo en http://science-logbook.blogspot.com/

  • #2
    Re: Solución de ED de orden 2 no homogenea por Series

    Si la solucion es:



    ...(1)

    ...(2)

    luego si se sustituye (1) y (2) en: se obtiene que:



    Entonces la ecuacion diferencial deveria ser:
    ...(3)

    y para resolver esta ecuacion te recomendaria usar la serie de Taylor ya que se facilita mas que a serie que estas tratando de usar, porque se tiene muchos terminos no lineales devido al coseno.

    The "Taylor series" es:

    De donde para encontrar las derivadas se tiene que derivar ambos lados de la ecuacion (3) utilizando posteriormente los valores de las condiciones iniciales.

    Comentario


    • #3
      Re: Solución de ED de orden 2 no homogenea por Series

      Escrito por M_Odes Ver mensaje
      Buen día amgos del Foro, he intentado solucionar la siguiente Ecuación Diferencial mediante el uso de series pero me encuentro con un lio al final despues de homogenizar los exponentes en las series

      Hola.

      Para mi que hay un error en el enunciado. Si tu ecuación fuera


      Entonces puedes ver que es una solución particular de la ecuación inhomogenea, con lo que te queda que debes obtener una solución general de la ecuación homogénea



      Si desarrollas en serie de taylor las soluciones de esta ecuación, encuentras que es la solución general de la homogenea (que es regular en el origen).

      Por tanto tu solución general es

      .

      Aplicando las condiciones de contorno, sale

      Comentario


      • #4
        Re: Solución de ED de orden 2 no homogenea por Series

        Escrito por carroza Ver mensaje
        Hola.

        Para mi que hay un error en el enunciado.
        Tienes Razón, voy a corregir mi post
        "Las más formidables armas del hombre para su conquista del Conocimiento son la mente racional y la insaciable curiosidad que lo impulsa"
        I. Asimov
        En ocasiones bloggeo en http://science-logbook.blogspot.com/

        Comentario


        • #5
          Re: Solución de ED de orden 2 no homogenea por Series

          Encontre otra manera de dar solución a este problema...

          Todo lo que necesitamos saber son las condiciones Iniciales de la ecuación para el mismo punto, ( en nuestro caso)al menos para ' y (ahora que lo pienso, si la ED fuera de orden y quisieramos solucionarla mediante este método necesitariamos condiciones???) y el Teorema Taylor, es decir saber que al rededor de un punto dado(o sea, en un entorno del punto)una función admite ser expresada como solucion en serie de potencias:


          ahora, operemos un poco con la ED dada y la condiciones de la misma:


          .....(1) , .....(c)

          hagamos :

          .....(2)

          derivando a ambos lados de (1) respecto a x:







          y reemplazando las condiciones (c) en (1) y sucesivamente observamos que










          Si suponemos que la solución es de la forma :



          notamos que este patron obtenido obecede a la serie taylor:



          Reordenando:



          la parte entre paréntesis corresponde a la expanción en serie de potencias Mclaurin entorno a cero, así finalmente:



          de una forma no tan trabajosa como parece, pero si muy interesante.

          Hasta la Proxima
          "Las más formidables armas del hombre para su conquista del Conocimiento son la mente racional y la insaciable curiosidad que lo impulsa"
          I. Asimov
          En ocasiones bloggeo en http://science-logbook.blogspot.com/

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