Otras carreras Series en EDP

[macondomagister]

Hola a todos tengo una E.D que necesito saber como resolverla y si ahi alguien que me ayude ojala explicandome paso a paso se lo agradeceria :

Con el cambio de variable y= x^(-1/2)u(Landa*x)


encuentre la solucion general de


x^2*y´´ + 2xy´+ landa^2*x^2 = 0

Obtener usando el desarrollo por frobenius

[IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/INCOGN%7E1/CONFIG%7E1/Temp/moz-screenshot.jpg[/IMG][IMG]file:///C:/DOCUME%7E1/INCOGN%7E1/CONFIG%7E1/Temp/moz-screenshot-1.jpg[/IMG]

[pod]

Re: Series en EDP

Uhm, el cambio que te ponen lo que hace es liar la ecuación. No hace falta recurrir a Frobenius para resolver esta ecuación. Se puede hacer fácilmente si nos damos cuenta que se puede reescribir tal que

$$(x^2 y')' + \lambda^2 x^2 = 0 \ .$$

Lo cual nos permite integrar rápidamente,

$$x^2 y' = -\frac{\lambda^2 x^3}{3} + A \ .$$

Ahora, ya sólo es cuestión de dividir por la $x^2$ e integrar de nuevo.

[Metaleer]

Re: Series en EDP

También puedes proceder de la siguiente manera:

$\displaystyle x^2y'' + 2xy' + \lambda^2 x^2 = 0 \Rightarrow \overbrace{x^2y'' + 2xy'}^\text{parte homo.} = \underbrace{- \lambda^2 x^2}_\text{parte no homo.}$

La parte homogénea igualada a es una ecuación diferencial de Euler. O la resuelves con los métodos que existen en la bibliografía para estas ecuaciones diferenciales particulares, o haces lo siguiente:

$\displaystyle y' = u \rightarrow y'' = u' \Rightarrow x^2u' + 2xu = 0,$

que es muy fácil de integrar; para recuperar $y$, recuerdas que $\displaystyle y' = u \Rightarrow y = \int u dx$, y para finalizar, calculas la solución particular (recuerda que tu ecuación diferencial ordinaria es lineal y por tanto hasta ahora has calculado la solución homogénea, para sumarle la particular) con el método de Lagrange (variación de constantes).

Saludos.