1r ciclo solucion ecuacion diferencial

[gaussiano]

quisiera hacer esta pregunta en el foro que nunca me han explicado (o yo no he entendido) bien. Cuando planteo la ecuacion diferencial de movimiento de un objeto, por ejemplo, un pendulo simple, o un MRUA, obtenemos una ecuacion diferencial de 2º orden; la integramos y obtenemos la solucion general de dicha ecuacion; si sustituimos para algun valor de C (cte de integracion), podemos sacar soluciones particulares. Hasta ahi, bien; pero ¿como obtengo soluciones singulares? Sea cual sea el grado de la ecuacion. Porque he visto un metodo que consiste en plantear un sistema de ecuaciones entre la solucion general y su derivada, pero no siempre vale. Gracias

[pod]

Re: solucion ecuacion diferencial

¿A qué te refieres con "soluciones singulares"?

[jorgext]

Re: solucion ecuacion diferencial

¿A qué te refieres con "soluciones singulares"?

Una solución singular satisface una ecuación singular, sin embargo, esta solución se encuentra a partir de la familia de curvas que satisfacen una ecuación.
De mis apuntes de EDO:
La familia de rectas de la forma $y = c x + 2 c^2$, es solución general de la ecuación diferencial $y = x y' + 2 y'^2$.
Ahora, se puede encontrar una curva, que recorre a toda la familia de curvas por uno de sus lados, por ejemplo: $y = -\frac{x^2}{8}$. Esta parabola pasa por todos los puntos de la familia de curvas dada por las rectas.
Graficar.

[gaussiano]

Re: solucion ecuacion diferencial

es exactamente eso, Jorge. Lo que pasa es que el metodo que aparece en mis libros (Makarenko) solo pone ejemplos con ec. diferenciales en las que aparece y´ elevada al cuadrado: hay que tomar la ecuacion y derivarla respecto de y´ y resolver el sistema entre ambas, resultando un candidato a solucion singular. Pero si la edo es mas sencilla, una lineal de primer orden, por ejemplo, ya no queda igual, no se si me explico.
Pod, me refiero a soluciones que no encuentras cuando obtienes la ecuacion de movimiento integrada, y que tambien satisfacen la edo.

[Metaleer]

Re: solucion ecuacion diferencial

Bueno, estoy repasando un libro que tengo de Ecuaciones Diferenciales, y dice esto, para la determinación de las soluciones singulares de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Si tienes la ecuación diferencial en forma implícita $F(x, y, y') = 0$, entonces el conjunto de puntos en los que se viola la unicidad o la existencia de la solución de esta ecuación diferencial se denomina conjunto singular, denotado por $\mathcal{S}_F$. Las soluciones de dicha ecuación diferencial contenidas en el conjunto singular se denominan soluciones singulares.

Sabrás que si tienes la condición inicial $y(x_0) = y_0$ para la que $y'(x_0) = y_0 '$, donde $y_0 '$ es una de las raíces de la ecuación $F(x_0, y_0, y') = 0$, entonces tienes la unicidad de soluciones, para una solución definida en $x_0 -h \leq x \leq x_0 + h$, si en un entorno cerrado del punto $(x_0, y_0, y_0 ')$ el campo escalar $F$ satisface las condiciones:

1. $F$ es continuo en todos sus argumentos.
2. La derivada parcial $\displaystyle \frac{\partial F}{\partial p}$, con $p := y'$, existe y es diferente de cero.
3. Existe la derivada parcial $\displaystyle \frac{\partial F}{\partial y}$ y está acotada en valor absoluto.

Si se cumplen las condiciones 1 y 3, apartir de las igualdades

$F(x, y, y') = 0$

y

$\displaystyle \frac{\partial F}{\partial y'} = 0$

se elimina $y'$ para tener $\Psi (x, y) = 0$, es decir, la curva p-discriminante $\mathcal{C}_F$, donde se cumple $\mathcal{S}_F \subset \mathcal{C}_F$. A continuación, se estudia la existencia de curvas de dicho conjunto que sean solución de la EDO. Como último paso, se verifica que a lo largo de dichas soluciones no se tiene la propiedad de unicidad.

Espero que esto sea lo que te hacía falta.

Saludos.