Otras carreras Problema sobre apuestas.

[dvc]

Como buen ludópata que soy, me gusta hacer problemas de probabilidades relacionados con las apuestas. Se me ha ocurrido un problema, a ver si alguien me puede ayudar.

Tenemos una cantidad de dinero $a_1$ y necesitamos conseguir una cantidad de dinero "b" $(a_1<b)$. Para conseguir el dinero, apostamos cada vez una cantidad de dinero $x_i$ al "todo o nada". Es decir, si ganamos la apuesta ganamos $x_i$ y si no, perdemos $x_i$. Tras la apuesta, tendremos una cantidad de dinero $a_{i+1}$.

La cantidad apostada cumple dos condiciones:

- $x_i<a_i$ (no podemos apostar mas dinero del que tenemos).

-$x_i<(b-a_i)$ ( no necesitamos más dinero que b).

El juego termina cuando, tras sucesivas apuestas, o bien nos quedamos sin dinero para apostar o bien conseguimos tener una cantidad de dinero b. (O bien nos morimos de aburrimiento pero esta solución no la contemplamos)

Bueno, y aquí va la pregunta:


El caso es que creo que la probabilidad de conseguir b es independiente de cuales sean las apuestas $x_i$. De hecho, he probado para a=1000 y b=5000 varios métodos distintos para realizar las apuestas y parece que la probabilidad de conseguir b es la misma $P=\frac{1}{5 }$.

¿Existe algún teorema que demuestre que la probabilidad de conseguir b es independiente de cómo hagamos las apuestas $x_i$? (En caso de ser cierto, claro).

Gracias de antemano.

[pod]

Re: Problema sobre apuestas.

Cuál es la probabilidad de ganar cada apuesta individual?

[dvc]

Re: Problema sobre apuestas.

Ups se me olvidó ponerlo.
La probabilidad de ganar cada apuesta individual es $\frac{1}{2}$

[pod]

Re: Problema sobre apuestas.

Una pregunta más, por si he entendido bien el enunciado. Las diferentes apuestas de una misma serie pueden ser diferentes?

[dvc]

Re: Problema sobre apuestas.

Si, las apuestas pueden ser diferentes.

De hecho, si todas las apuestas son iguales (para ello tanto como b deben ser múltiplos de la cantidad que estamos apostando) creo que sí que podría demostrarlo.

[pod]

Re: Problema sobre apuestas.

Empieza con esa versión, después veremos si lo podemos generalizar

[carroza]

Re: Problema sobre apuestas.

Hola.


Si hay una forma de demostrarlo, y es considerando que, en el juego de apuestas que tienes, la esperanza matemática ( es decir, el valor medio con las probabilidades de las distintas cantidades que puedes tener en cada momento), es siempre igual a la cantidad inicial $a_1$.

Como sigues jugando, hasta que, tengas 0 o tengas b, los dos únicos resultados posibles son 0 y b.

Por tanto, $a_1 = P(0) 0 + P(b) b$

De aquí, como $P(0) + P(b) = 1$,

$P(b) = a_1 / b$

[dvc]

Re: Problema sobre apuestas.

Empieza con esa versión, después veremos si lo podemos generalizar

La demostración que se me había ocurrido es la siguiente:

Supongamos que apostamos todo el rato la misma cantidad x. Para que esto sea posible, tanto b como tienen que ser múltiplos de x. Es decir:

$a_1=kx$
$b=k'x$

Con k y k' números naturales (k'>k).

Llamo $P_\alpha$ a la probabilidad de que, teniendo una cantidad de dinero $\alpha$ consiga obtener b apostando todo el rato la misma cantidad x.
Obviamente, $P_0$ es 0, $P_b$ es 1 y $P_{a_1}$ es la cantidad que queremos obtener.
Primero, voy a demostrar el siguiente resultado:

$P_{nx}=nP_x$ (ec.1)
Con n un número natural cualquiera (tal que $nx\leqslant b$).

Este resultado lo demuestro por inducción. Es decir supongo que es cierto para n=0, n=1,...n. Veamos si se cumple para n+1.
Tenemos que:
$P_{nx}=\frac{1}{2 }P_{{(n-1)}x}+\frac{1}{2}P_{{(n+1)}x}$
Usando la hipótesis de inducción.
$2nP_x=(n-1)xP_x+P_{{(n+1)}x}\Rightarrow P_{{(n+1)}x}=(n+1)P_x$

Dado que la ecuación 1 se cumple para n=0 y n=1, queda demostrada.

Aplicando la ecuación 1 para n=k y n=k', nos queda lo siguiente:

$P_b=P_{(k'x)}=k'P_x=1\Rightarrow P_x=\frac{1}{k'}$
$P_{a_1}=P_{kx}=kP_x=\frac{k}{k'}=\frac{a_1}{b}$
Que es lo que queríamos demostrar.

Hola.


Si hay una forma de demostrarlo, y es considerando que, en el juego de apuestas que tienes, la esperanza matemática ( es decir, el valor medio con las probabilidades de las distintas cantidades que puedes tener en cada momento), es siempre igual a la cantidad inicial .

Como sigues jugando, hasta que, tengas 0 o tengas b, los dos únicos resultados posibles son 0 y b.

Por tanto,

De aquí, como ,

Gracias Carroza, no he dado nunca estadística así que no sabía lo que era la esperanza matemática. La wikipedia dice que la esperanza matemática es igual a la suma de la probabilidad de cada suceso posible por el valor de cada suceso, en nuestro caso:
$E=P(0)0+P(b)b$

Por lo que si la esperanza matemática es $a_1$ como dices, se cumple.
Lo que no entiendo es cómo demuestras (sin conocer P(b)) que la esperanza matemática es $a_1$.

Otra cosa, la ecuación que pones $P(0) + P(b)=1$ ¿para qué la estás usando?

[carroza]

Re: Problema sobre apuestas.

Hola.

Para los juegos de azar equilibrados, es decir, aquellos en los que, en promedio, se gana la misma cantidad que se pierde, la esperanza matemática es constante, e igual al valor inicial.

En el caso que consideras (probabilidad 1/2 de ganar o de perder, en una apuesta de x), es fácil demostrar que la esperanza matemática es constante.

Por ejemplo, si inicialmente tienes un capital $a_1$, tras jugar una vez tendrás un capital $a_1+x$, con probabilidad
1/2 (si has ganado), y un capital $a_1-x$, con probabilidad 1/2. Por tanto, la esperanza matemática es
$<a> = 1/2(a_1+x) + 1/2(a_1-x) = a_1$.

Si después de n jugadas, tienes unas probabilidades $P_i$ de tener valores $a_i$, la esperanza matemática es
$<a> = \sum_i P_i a_i$. Si ahora juegas otra vez (n+1 jugadas), tendrás probabilidad $P_i/2$ de tener valores $a_i+x$, más probabilidad $P_i/2$ de tener valores $a_i-x$. Puedes comprobar que la esperanza matemática con (n+1) jugadas es la misma que la esperanza matemática con (n) jugadas, y, por inducción, será la misma que tengas con 0 jugadas, es decir, antes de jugar.

Por tanto, da igual la cantidad que apuestes en cada caso, o la estrategia de apuestas.
Si el juego es equilibrado, la esperanza matemática se conserva.

[dvc]

Re: Problema sobre apuestas.

Muchas gracias Carroza. Me ha quedado muy claro.

[carroza]

Re: Problema sobre apuestas.

De nada, un placer.


Personalmente, creo que el conocimiento de la estadística quita motivación a la ludopatía.

Al final, aun suponiendo un juego de azar equilibrado, nunca aumentas tu riqueza media, sino sólo su dispersión.

Por otro lado, todos los juegos reales (lotería, primitiva, quinielas, ..) son desequilibrados, con lo que el jugador pierde en promedio, y gana hacienda, la once, los loteros y demás intermediarios.