1r ciclo Duda (1) de probabilidad

[skinner]

Buenas a todos, me está quemando la cabeza la siguiente duda.

Supongamos que tenemos un dado sin trucar (de 6 caras evidentemente) con números del 1 al 6. La probabilidad de sacar un 6 en la primera tirada es de 1/6. ¿Cuál es la probabilidad de sacar otro 6? Como son sucesos independientes, la probabilidad sería (1/6)*(1/6)=1/36. Mi duda es doble:

1º) Según lo anteriormente dicho, ¿quiere esto decir que a mayor número de seis salgan, menores son las probabilidades de que sigan saliendo seis?

2º) ¿Lo lógico no es que la probabilidad de volver a sacar un 6 sea de (1/6), en lugar en lugar de (1/36), pues siguen habiendo 6 caras?

Un saludo y gracias amigos!

[Cat_in_a_box]

Re: Duda (1) de probabilidad

Hola,

Desde mi punto de vista, deberías considerar este problema de otra manera. Es decir, no con el concepto clásico de probabilidad, regla de Laplace, ya que por lo que leo, en realidad estás tratando con una distribución de probabilidad.

Si recuerdo bien, y estoy interpretando bien tu problema, tienes una distribución binomial, pues:
1. El experimento consiste en n ensayos repetidos (en este caso dos ensayos, el primer lanzamiento de dado y el segundo)
2. El resultado de cada uno de los ensayos puede clasificarse en éxito (sacar un seis) o en fracaso (no sacarlo).
3. La probabilidad de éxito es constante en todos los ensayos, y como bien has dicho es de un sexto.
4. Los diferentes ensayos son independientes, evidentemente si el dado no está trucado, lo que saques en una segunda tirada es independiente de tu primer resultado.

En tal caso, tu función de distribución sería:

$$P(X=k)={n\choose k}p^kq^{n-k}$$

Donde n es el número de ensayos, k el de aciertos, p la probabilidad de éxito y q la de fracaso. Así pues, la probabilidad de que en dos lazamientos sucesivos de un dado saques 6, sería:

$$P(X=k)={2\choose 2}\left(\dst\frac{1}{6}\right)^2\left(\dst\frac{5}{6}\right)^{2-2}=\boxed{\dst\frac{1}{36}}$$

Creo que sería así. La verdad es que hace tiempo que vi las distribuciones de probabilidad, pero parece que tu problema sigue una distribución de este tipo, ya que presenta las características que te puse antes. Fijate que curiosamente es el resultado que obtenías, pero recuerda que el cálculo lo haces mediante la distribución. En cuanto a la otra pregunta, si miras la función de distribución, verás que la probabilidad disminuye a medida que aumenta el número de ensayos e impones que en todos tengas éxito, es decir, la probabilidad de que vayas obteniendo cada vez más 6s consecutivos va disminuyendo, pues k aumenta y n=k en tal caso.

Saludos,

[xXminombreXx]

Re: Duda (1) de probabilidad

Te lo puedo mostrar un poco más intuitivamente que la respuesta analítica de cat, y verás que no es difícil de ver.

Si tiras un dado n veces, tienes 2^n posibles combinaciones de resultados. En tu caso n=2, tienes 36 combinaciones, todas ellas con la misma probabilidad, así que cada una de ellas tiene 1/36 posibilidades de salir.

Debes verlo, como bien dices, como que cuantas más tiradas, la prbabilidad de un resultado se vuelve menor, pero todos los resultados tienen la misma, así que la probabilidad de sacar 6-6 es 1/36, pero no es menor que cualquier otra, la probabilidad de sacar 3-4, o cualquier otra combinación también es 1/36.


Es como aquel que en la lotería juega al número 55555 y otro le dice que ese número es imposible que salga. El número tiene las mismas probabilidades que cualquier otro. El problema es que los humanos tendemos a agrupar números que sigan patrones y los que no, y evidentemente, que sigan patrones como el de 5 números iguales hay muy pocos, por eso parece que tiene menos probabilidad, pero tiene la misma que cualquier otro, lo que tiene menos probabilidad es el grupo de números que siguen un patrón en el que lo hemos metido, como sólo hay 10 números que cumplan eso, las probabilidades de que salga un número como ese son de 10/99999, contra 99989/99999 de que no salga... En el caso de los dados has cogido el grupo "2 nº iguales".

Un saludo. Espero que te haya ayudado en algo.

[skinner]

Re: Duda (1) de probabilidad

Gracias a los dos, me ha quedado muy claro.

En cuanto a xXminombreXx, quisiera que me aclararas eso del patrón 55555. ¿Tiene este número igual probabilidad de salir que el 41850? Creo que nunca he visto un número ganador en que se repita el mismo número las 5 veces...

Un saludo!

[xXminombreXx]

Re: Duda (1) de probabilidad

Es por lo que has dicho. Todos los números tienen exactamente la misma probabilidad (si no se hacen trampas). El 55555 es un número como otro cualquiera. El 41850 tiene la misma probabilidad de salir que cualquier otro, incluido el 55555, esa probabilidad, suponiendo que están todos los números posibles, es 1/100000 para cada uno de ellos.

El asunto está en que las personas tendemos a ver orden donde no tiene porqué haberlo, y nos llama la atención el número 55555. Nunca ha salido, pero habrá otros muchos números normales que tampoco hallan salido, la diferencia es que no nos llaman la atención.

¿Cuál es la probabilidad de que salga 55555? Bueno, primero tiene que salir un 5 (1/10), luego otro, y luego otro... cinco veces: 1/10^5 = 1/100000
¿Y la del número 41850? Pues primero un 4 (que tiene lo mismo 1/10 de posibilidades de salir), luego un 1, y así hasta completar el número, la operación es la misma 1/10^5 = 1/100000.

Es así. Siento no poder explicarlo mejor.

Si quieres ver un experimento, puedes programar una aplicación que genere números aleatorios entre 00000 y 99999, y hacer que genere varios millones de números aleatorios, lo que sería equivalente a jugar a la lotería varias millones de veces. Verás que el número 55555 ha salido, más o menos, las mismas veces que cualquier otro número.

Un saludo.

[skinner]

Re: Duda (1) de probabilidad

Más claro agua, gran explicación, muchas gracias.

Un saludo

[pod]

Re: Duda (1) de probabilidad

Desde un punto de vista más formal, aquí estas tratando con el concepto de probabilidad condicionada. La probabilidad de dos seises, p(6,6) = 1/36. De hecho, la probabilidad de p(x,y) = 1/32 para cualquier x e y.

Ahora bien, la pregunta es completamente distinta si ya sabemos que la primera tirada ha sido un seis. En este caso, no tenemos una probabilidad pura como las que acabamos de ver, sino que es condicionada, se denota como: p(6,6|6) = 1/6. La información extra, saber que ya ha salido un seis, cambia la respuesta. Es muy diferente la probabilidad a priori de sacar dos seises que la probabilidad condicionada (o a posteriori) de sacar otro seis sabiendo que ya hemos sacado uno.

Otro ejemplo, bastante obvio: p(6, 6| 1) = 0. Es imposible sacar dos seises si ya ha salido un uno.

[xXminombreXx]

Re: Duda (1) de probabilidad

Por simple curiosidad... He hecho lo del programa, en Octave, y para que veas, el número 55555 ha salido 3 veces más que el número 41850, que era el que tú ponías, para un millón de experimentos:

>> v = zeros(1,100000);
>> for i=1:1000000
> j = floor(rand*100000+1);
> v(j) = v(j)+1;
> end
>> v(55555)
ans =  14
>> v(41850)
ans =  11

[carroza]

Re: Duda (1) de probabilidad

Por simple curiosidad... He hecho lo del programa, en Octave, y para que veas, el número 55555 ha salido 3 veces más que el número 41850, que era el que tú ponías, para un millón de experimentos:

>> v = zeros(1,100000);
>> for i=1:1000000
> j = floor(rand*100000+1);
> v(j) = v(j)+1;
> end
>> v(55555)
ans =  14
>> v(41850)
ans =  11

Hola; la diferencia entre las dos frecuencias obtenidas (11 y 14), con respecto al valor esperado (10) es plenamente consistente con la desviación estándar, que en este caso es $\sqrt{n}$ (distribución de Poisson).

[xXminombreXx]

Re: Duda (1) de probabilidad

Sí, Lo hice simplemente para mostrar que todos los números tienen la misma probabilidad, no por otra razón.