1r ciclo Pregunta básica sobre Probabilidad

[skinner]

Buenas. He aprobado Estadística con buena nota ... pero aún hay alguna pregunta básica por ahí que no sabría responder.

Esta es una de ellas.

Imaginemos un tetraedro regular, y cada cara tiene un número diferente del 1 al 4. Tiramos 10 veces el tetraedro (bajo las mismas condiciones por supuesto), y nos sale:

1, 1, 4, 2, 1, 3, 1, 3, 4, 1

Es decir: 5 unos, 1 dos, 2 tres, y 2 cuatros

Queremos tirar el dado 3 veces más, en las mismas condiciones

La probabilidad en este caso ha decidido que hayan más 1's que los demás, y también ha decidido que la cantidad de 2's sea mínima. Puesto que el tetraedro es regular, la probabilidad de que caiga un 1 es de 1/4, al igual que para el 2, el 3 y el 4.

Esto significa que el número de 1's, 2's, 3's y 4's debe "estabilizarse" para un número grande de tiradas. Por tanto mi pregunta es: en las 3 siguientes tiradas, ¿se "inclina" la balanza un poco más hacia los 2's, ya que es el que menos ha caído y el que habría que "estabilizar"? Ya sé que todas las probabilidades son de 1/4, pero al fin y al cabo, para un número infinito de tiradas, el número de 1's, 2's, 3's y 4's debe estabilizarse, o por lo menos llegar a algo parecido. Sino los porcentajes serían otros.

Me gustaría una respuesta profesional en torno a este tema. Aunque esto último sobra pues casi todas las respuestas que me brindáis son profesionales. La palabra sería "con fundamento"

Un saludo amigos y gracias

[pod]

Re: Pregunta básica sobre Probabilidad

Buenas. He aprobado Estadística con buena nota ... pero aún hay alguna pregunta básica por ahí que no sabría responder.

Esta es una de ellas.

Imaginemos un tetraedro regular, y cada cara tiene un número diferente del 1 al 4. Tiramos 10 veces el tetraedro (bajo las mismas condiciones por supuesto), y nos sale:

1, 1, 4, 2, 1, 3, 1, 3, 4, 1

Es decir: 5 unos, 1 dos, 2 tres, y 2 cuatros

Queremos tirar el dado 3 veces más, en las mismas condiciones

La probabilidad en este caso ha decidido que hayan más 1's que los demás, y también ha decidido que la cantidad de 2's sea mínima. Puesto que el tetraedro es regular, la probabilidad de que caiga un 1 es de 1/4, al igual que para el 2, el 3 y el 4.

Esto significa que el número de 1's, 2's, 3's y 4's debe "estabilizarse" para un número grande de tiradas. Por tanto mi pregunta es: en las 3 siguientes tiradas, ¿se "inclina" la balanza un poco más hacia los 2's, ya que es el que menos ha caído y el que habría que "estabilizar"? Ya sé que todas las probabilidades son de 1/4, pero al fin y al cabo, para un número infinito de tiradas, el número de 1's, 2's, 3's y 4's debe estabilizarse, o por lo menos llegar a algo parecido. Sino los porcentajes serían otros.

Me gustaría una respuesta profesional en torno a este tema. Aunque esto último sobra pues casi todas las respuestas que me brindáis son profesionales. La palabra sería "con fundamento"

Un saludo amigos y gracias

No, no hay una "ley de la compensación". La probabilidad para cada tirada sigue siendo la misma.

Es muy fácil tender a pensar que, como la proporción debe tender al valor correcto, entonces el dado tetaédrico debe "acordarse" de lo que ha salido anteriormente y compensar. Pero los dados no tienen memoria, no tienen forma alguna de compensar nada. Cada evento es independiente, y uno no afecta al otro.

Entonces, si el dado no tiene memoria, ¿cómo se llega a estabilizar la proporción de cada valor? De hecho, es fácil demostrar que si nos fijamos en tiras de datos cortas (como la tuya), es más probable que exista alguna desviación (como la que has detectado) que el caso ideal. Ahora bien, en algunas tiras la desviación hará que haya más unos, en otra habrá más 2, etc. Al final, habrá tantas tiras parciales de datos donde gana cada valor, por lo que las variaciones estadísticas se compensarán. El caso es que en una cantidad infinita de repeticiones hay infinitas tiras "pequeñas". Es una de las virtudes del infinito.

Hagamos algunos números. Supongamos una tira de 8 valores (tu tira es de 10, pero 8 es más bonito porque es múltiplo de cuatro). Hay $4^8 = 65536$ diferentes tiras de datos. ¿Cuántas de ellas dan lugar a proporciones perfectas? Pues todas las permutaciones de la serie 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4 y 4. Ojo que son permutaciones con repetición, 8!/(2!^4) = 2520. Por lo tanto, la probabilidad de dar con una serie de 8 tiradas perfecta es 2520/65536 = 0,03845. Una probabilidad realmente pequeña. Así que lo más normal es encontrar tiras no exactas.

Veamos a ver que pasa con tiras que son sólo un poquito injustas: donde obtenemos tres repeticiones de un valor, sólo una repetición de otro (los dos restantes quedan correctas, 2 repeticiones). En este caso, la cantidad de permutaciones con repetición seria $8! /(2! 2! 3! 1!) = 1680$. No obstante, hay doce posibilidades de obtener estas frecuencias (tenemos que elegir qué numero es el que se repite tres veces, y cuál el que se repite sólo uno). Eso nos da 20160 combinaciones de este tipo, con una probabilidad de 0,307617.

Sin embargo, el valor más frecuente puede ser cualquiera de los cuatro: la probabilidad es la misma. En una serie de datos realmente larga, habrá segmentos donde la más frecuente sea el uno; otros tantos donde sea el dos, y así sucesivamente. Esto es lo que irá compensando los valores poco a poco. Pero no porque el dado sepa que tiene que hacerlo; lo hará porque las series desequilibradas son igualmente posibles en todas direcciones.

[skinner]

Re: Pregunta básica sobre Probabilidad + El Gordo de la Primitiva

Bonita respuesta pod. Como siempre ayudando.

Un saludo