Secundaria varianza y desviación típica vs desviación media

[alexpglez]

Me preguntaba, el por qué de la desviación típica¿?, al principio los primeros cursos de secundaria interioricé la desviación media, pero la desviación típica o la varianza nunca la llegaron a explicar, si que hablaron de ella, pero no de dónde salen las fórmulas. Eso preguntaba, que mejora la desviación típica (y la varianza) con respecto a la desviación media, y de dónde sale su fórmula¿?
Gracias, un saludo.

[Weip]

Re: varianza y desviación típica vs desviación media

La desviación típica es un concepto que se define. Es decir, no sale de ningún lado, no existe demostración de su fórmula. Sencillamente es útil y por eso la usamos. Para la varianza es lo mismo. Ahora bien, si quieres que te diga una razón de la existencia de la desviación típica, pues te da la distancia desde un punto a la media cosa que da mucha información. Así pues si tenemos un listado con las notas de los alumnos de una clase podemos saber si la mayoría están alrededor de la media (del cinco si se puntúa sobre diez) o no de forma muy gráfica gracias a la desviación típica. Finalmente la desviación típica por sí sola no es mejor que la desviación media, es sólo un indicador más. Contra más información sepas del sistema que estudias mejor.

[alexpglez]

Re: varianza y desviación típica vs desviación media

te da la distancia desde un punto a la media

Puedes explicarlo por qué es así¿?
PD: Veo algo de relación con el módulo de un cierto vector $(x'-x_1,x'-x_2...)$ y después hacer la media.. pero no entiendo por qué..

La desviación media la veo más o menos así:
Supongamos que tenemos ciertos valores $x_i$, siendo su valor medio (designando con prima al valor medio) $x'=\sum_i\frac{x_i}{N}$, la distancia de cada valor al valor medio es: $\Delta x_i=\vert x' -x_i \vert$. Entonces podemos definir una distancia media de la distancia de cada $x_i$ a $x'$ como $(\Delta x)'=\sum_i\frac{\Delta x_i}{N}$. Entonces el valor medio con su error medio será: $x' \pm (\Delta x)'$.

[Weip]

Re: varianza y desviación típica vs desviación media

Puedes explicarlo por qué es así¿?
PD: Veo algo de relación con el módulo de un cierto vector $(x'-x_1,x'-x_2...)$ y después hacer la media.. pero no entiendo por qué..

Por ahí van los tiros. La fórmula de la desviación típica es:

$s_x=\sqrt{\dst\frac{1}{N} \dst \sum_{i = 1}^N (x_i -\bar{x})^2}$

Si lees con cuidado la definición fíjate que nuestros datos $x_i$ son las componentes de un vector de $\mathbb{R}^n$. La media es un elemento de $\mathbb{R}$ pero como estamos interesados en medir la dispersión de todos nuestros datos respecto la media (y no sólo de $x_1$) mejor construimos un vector media $(\bar{x},...,\bar{x}) \in \mathbb{R}^n$. La distancia entre el punto $(x_1,...,x_N)$ al punto $(\bar{x},...,\bar{x})$ es:

$\sqrt{\dst \sum_{i = 1}^N (x_i -\bar{x})^2}$

El factor $1/N$ sale porque a ti no te interesan el cuadrado de las desviaciones individualmente si no su media para tener una visión global de la situación:

$\sqrt{\dst\frac{1}{N} \dst \sum_{i = 1}^N (x_i -\bar{x})^2}$

No sé si me he explicado bien. Realmente tiene su sentido, pero hay que sentarse delante del papel y desmenuzar la fórmula trocito a trocito.

[alexpglez]

Re: varianza y desviación típica vs desviación media

Entiendo, pero lo que no veo son tales vectores (a partir de ahí está claro que asentadas esas definiciones la desviación típica, sólo es la distancia). Cambiando un poco de notación me he dado cuenta que:

$$desv media= < \vert \Delta x \vert >=< \sqrt{\Delta x ^2} >$$

$$desv tipica=\sqrt{<\Delta x ^2 >}$$

[Weip]

Re: varianza y desviación típica vs desviación media

Entiendo, pero lo que no veo son tales vectores (a partir de ahí está claro que asentadas esas definiciones la desviación típica, sólo es la distancia).

Igual con un ejemplo en el plano se ve mejor. Imagínate que nuestros datos son 10 y 0. Su media es 5. Metemos los datos en un vector para tenerlos mejor ordenados: (10, 0). Ahora tenemos el problema de que la media está en $\mathbb{R}$ y los datos en $\mathbb{R}^2$, no podemos calcular distancias. Pero fíjate que poniendo un vector (5, 5) podemos calcular la distancia que nos interesa.

Cambiando un poco de notación me he dado cuenta que:

$$desv media= < \vert \Delta x \vert >=< \sqrt{\Delta x ^2} >$$

$$desv tipica=\sqrt{<\Delta x ^2 >}$$

Así es más compacto y te puedes acordar mejor.