Suma de varianzas

[Berna]

Hola, tengo duda con un tema llamado -Varianzas de combinaciones lineales de variables aleatorias independientes-

Como su nombre dice hay que sacar la varianza de la suma de dos o mas variables independientes. Lo que no logro entender, es por qué la formula para obtener la varianza de esa suma o diferencia tiene esta forma?:

$\sigma_{X_1+X_2+...+X_n}^2=\sigma^2_{X_1}+\sigma^2_{X_2}+...+\sigma^2_{X_n}$

De dónde sale? Se puede demostrar?
O simplemente es una formula arbitraria?

[Alriga]

Si tienes 2 variables aleatorias X, Y, se demuestra en general que la varianza de la suma siempre cumple:

$V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2CV(X, Y)$

En donde $CV(X, Y)$ es la covarianza entre X e Y. Si las variables X e Y son independientes, (no correlacionadas), $CV(X, Y)=0$ y obtienes:

$V(X+Y)=V(X)+V(Y)$

Del mismo modo para 3 variables X, Y, Z:

$V(X+Y)=V(X)+V(Y)+V(Z)+2CV(X, Y)+2CV(X,Z)+2CV(Y, Z)$

Si X, Y, Z son independientes obtienes

$V(X+Y)=V(X)+V(Y)+V(Z)$

Y en general para n variables independientes $X_1$, $X_2$,...$X_n$

$V(X_1+X_2+\dots X_n)=V(X_1)+V(X_2)+ \dots V(X_n)$

Saludos.

[Berna]

Gracias por responder, pero la definición que me diste me resulta cíclica, como preguntar porque el cielo es azul y que me digan que es porque se ve azul.

No logro comprender porque la varianza se mide como una una suma y no como resta o multiplicación. Inclusive, porque se usa la varianza en lugar de la desviación estándar.

¿Por qué no usar una suma de desviaciones estándar?

$|\sigma_{X_1+X_2+...+X_n}|=|\sigma_{X_1}|+|\sigma_{X_2}|+...+|\sigma_{X_n}|$

¿ De dónde sale esta fórmula?

$V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2CV(X, Y)$

[delmar7]

Hola

Hola, tengo duda con un tema llamado -Varianzas de combinaciones lineales de variables aleatorias independientes-

Como su nombre dice hay que sacar la varianza de la suma de dos o mas variables independientes. Lo que no logro entender, es por qué la formula para obtener la varianza de esa suma o diferencia tiene esta forma?:

$\sigma_{X_1+X_2+...+X_n}^2=\sigma^2_{X_1}+\sigma^2_{X_2}+...+\sigma^2_{X_n}$

De dónde sale? Se puede demostrar?
O simplemente es una formula arbitraria?

Surge de la definición de varianza, $\sigma_X^2=E((x-\mu_X)^2)=E(x^2)-\mu_X^2$ Ec 1, la cual es una medida de dispersión respecto a la media, en rigor es la esperanza de $(x-\mu)^2$. Si se tienen 2 variables aleatorias X , Y continuas por ejemplo, X+Y es también una variable aleatoria y su función de densidad de probabilidad $f_{X,Y}(x,y)$ en el caso que sean independientes se da $f_{X,Y}(x,y)=f_X(x) \ f_Y(y), \ \ \ \forall (x,y) \in R^2$. Luego aplicando la Ec 1 ha la variable aleatoria X+Y, se tiene :

$\sigma_{X+Y}^2=\int _ {- \infty}^{\infty} \int _ {- \infty}^{\infty}(x+y)^2 \ f_{X,Y}(x,y) \ dx \ dy-\mu^2_{X+Y}=\int _ {- \infty}^{\infty} \int _ {- \infty}^{\infty}(x+y)^2 f_X(x) \ f_Y(y)\ dx \ dy-\mu^2_{X+Y}$

El proceso es operativo teniendo en cuenta $\mu_{X+Y}=\mu_X+\mu_Y, \ \ \int_{- \infty}^{\infty}f_X(x) \ dx=\int_{- \infty}^{\infty}f_Y(y) \ dy=1$ y que en los integrales dobles se puede integrar en el orden que convenga para simplificar se llega :

$\sigma_{X+Y}^2=\sigma^2_{X}+\sigma^2_{Y}$, en caso tengas dificultades en algún punto del proceso, pregunta.

Para las variables aleatorias discontinuas es semejante.

Saludos

[Berna]

Por fin entiendo de donde sale la formula, gracias!!!

Solo me queda la duda de por qué:

$f_{X,Y}(x,y)=f_X(x)*f_Y(y)$

¿La función de densidad de probabilidad combinada hace referencia a la probabilidad de ambos eventos ocurran, y esa es la razón de que se multipliquen?

[delmar7]

Cuando se tiene la forma de relación $f_{X,Y}(x,y)=f_X(x) \ f_Y(y)$ y se evalúa $P(X \leq t)=\int_{-\infty}^t \int_{-\infty}^{\infty} \ f_{X,Y}(x,y) \ dy \ dx=\int_{-\infty}^t \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) \ f_Y(y) \ dy \ dx$

Observa que la región de integración es $-\infty \leq x \leq t \ \ \wedge -\infty \leq y \leq \infty$, se esta integrando primero respecto a y luego respecto a x, entonces continuando con la integración.

$P(X \leq t)=\int_{-\infty}^t f_X(x) (\int_{-\infty}^{\infty} \ f_Y(y) \ dy) \ dx=\int_{-\infty}^t f_X(x) \ dx=F_X(t)$ que constituye por definición la función de distribución de la variable aleatoria X, entonces se concluye que esa forma de relación se corresponde con la independencia de las variables X e Y, por que $P(X \leq t)=F_X(t) \ \ \forall t \in R$ implica que esa probabilidad, no se ve afectada por la variable Y, en caso contrario $P(X \leq t) \neq F_X(t)$ las variables no son independientes.

Saludos