Desigualdad de Chebyshev

[Berna]

Hola, tengo problemas para demostrar esta formula.

$P(|x-\mu|\ge k \sigma_x)\le \frac{1}{k^2}$

Que por lo que veo se suele expresar así:

$P(|x-E(x)|\ge \epsilon)\le \frac{V(x)}{\epsilon^2}$

Ya revise varias fuentes, pero usan una función indicadora (que no entiendo que es y que hace) o una desigualdad que no sé como demostrar.

$P(x \ge \epsilon) \le \frac{E(x)}{\epsilon}$

Cualquier ayuda es apreciada. Con que me enseñen como demostrar la ultima desigualdad me es suficiente para llegar a la solución.

[delmar7]

Hola

Una forma, para el caso continuo, siguiendo los siguientes pasos :

1) Se demuestra que $z=\frac{x-\mu_x}{\sigma_x}$ tiene como media 0 y como varianza 1



2) Se demuestra que $p(|z|) \geq k) \leq \frac{1}{k^2}$, ojo considerando que $z=\frac{x-\mu_x}{\sigma_x}$ esto equivale a la fórmula que se desea demostrar.

Paso 1)

Por definición $E(z)=E(\frac{x-\mu_x}{\sigma_x})=\int_{-\infty}^{\infty} \ (\frac{x-\mu_x}{\sigma_x}) \ f_x(x) \ dx =\frac{1}{\sigma_x} \ ( \int_{-\infty}^{\infty} \ x \ f_x(x) \ dx- \mu_x \int_{-\infty}^{\infty} \ f_x(x) \ dx \ )=\frac{1}{\sigma_x} (\mu_x-\mu_x)=0$ donde $f_x(x)$ es la densidad de probabilidad de la variable aleatoria x

Luego $\mu_z=0$

Por definición $Var(z)=E(z^2)-\mu_z^2=E(z^2)$ en consecuencia en función de x , y considerando propiedades de E( ) se tiene

$E(z^2)=E((\frac{x-\mu_x}{\sigma_x})^2)=\frac{1}{\sigma^2_x}(E(x^2-2 x \mu_x+\mu_x^2))=\frac{1}{\sigma^2_x}(E(x^2)-2 \mu_xE(x)+\mu_x^2E(1))=\frac{1}{\sigma^2_x}(E(x^2)-\mu_X^2)=1$


Paso 2)

Hay que considerar :

A) $|k|>1$

B) $|k|\leq 1$

A) Considerando la variable aleatoria z, tiene su densidad de probabilidad $f_z(z)$ se tiene :

Si $|z| \geq |k| \rightarrow z^2 \geq k^2$

En este punto se obtienen dos resultados :

$\int_{-\infty}^{-k} z^2 \ f_z(z) \ dz \geq k^2 \int_{-\infty}^{-k} f_z(z) \ dz$ R 1

$\int_{k}^{\infty} z^2 \ f_z(z) \ dz \geq k^2 \int_{k}^{\infty} f_z(z) \ dz$ R 2

Sumando ambos resultados R1 y R2 se llega a :

$\int_{-\infty}^{-k} z^2 \ f_z(z) \ dz+\int_{k}^{\infty} z^2 \ f_z(z) \ dz \geq k^2 (\int_{-\infty}^{-k} f_z(z) \ dz+\int_{k}^{\infty} f_z(z) \ dz)$ Inec 1

Pero $p(|z| \geq k)=(\int_{-\infty}^{-k} f_z(z) \ dz+\int_{k}^{\infty} f_z(z) \ dz)$ Entonces la Inec 1 se transforma

$\int_{-\infty}^{-k} z^2 \ f_z(z) \ dz+\int_{k}^{\infty} z^2 \ f_z(z) \ dz \geq k^2 p(|z| \geq k)$ Inec 2

Por otro en este caso la varianza de z es 1 , luego :

$var (z)=1=E(z^2)=\int_{-\infty}^{\infty}z^2 \ f_z(z) \ dz \rightarrow \int_{-\infty}^{-k} z^2 \ f_z(z) \ dz+\int_{k}^{\infty} z^2 \ f_z(z) \ dz \leq 1$

Usando la Inec 1 se llega :

$1\geq k^2 p(|z| \geq k) \rightarrow p(|z| \geq k) \leq \frac{1}{k^2}$

Lqqd

B) $|k| \leq 1 \rightarrow \frac{1}{k^2} \geq 1$ , por ser el valor máximo de la probabilidad de cualquier evento 1, se tiene :

$p(|z| \geq k) \leq \frac{1}{k^2}$

Lqqd

Para la variable discreta es semejante.

Saludos