Relación entre distribución exponencial y el proceso de poisson.

[Berna]

En un libro de estadística encontré esta deducción:

Deducción de la relación entre de distribución exponencial y el proceso de Poisson
Sea T el tiempo de espera hasta el siguiente evento en un proceso de Poisson con un parámetro de razón $\lambda$. Demostramos que T~Exp($\lambda$) mostrando que la función de distribución acumulativa de T es $F(t)=1-e^{-\lambda t}$, que es la función de distribución acumulativa de Exp($\lambda$).
Primero, si $t \le 0$, entonces $F(t)=P(T \le t)=0$. Ahora $t > 0$. Se comienza por calcular $P(T > t)$. La clave es darse cuenta de que $T>t$, si y solo si no ocurre ningún evento durante las siguientes t unidades de tiempo. Sea X el numero de eventos que sucede en las siguiente t unidades de tiempo. Ahora $T>t$ si y solo si $X=0$, por lo que $P(T>t)=P(X=0)$.
Dado que X~Poisson($\lambda t$).
$P(X=0) = e^{ - \lambda t}*\frac{\lambda ^ 0}{0 !}=e^{- \lambda t}$
En consecuencia, $P(T>t)=e^{- \lambda t}$. La función de distribución acumulativa de T es $F(t)=0$ para $t \le 0$, y para $t>0$
$F(t)=P(T \le t)=1-P(T<t)=1-e^{- \lambda t}$
Como $F(t)$ es la función de distribución acumulativa de Exp($\lambda$), se tiene que T~Exp($\lambda$).

X~Poisson($\lambda$) --> $P(X=x) = e^{ - \lambda}*\frac{\lambda ^ x}{x !}$
T~Exp($\lambda$) --> $P(T \le t)=1-e^{-\lambda t}$

El problema es que no entiendo este enunciado:

La clave es darse cuenta de que $T>t$, si y solo si no ocurre ningún evento durante las siguientes t unidades de tiempo. Sea X el numero de eventos que sucede en las siguiente t unidades de tiempo. Ahora $T>t$ si y solo si $X=0$, por lo que $P(T>t)=P(X=0)$.

¿Como se llega a esa conclusión?, ¿como se logra esa conexión entre las distribuciones?

Me da la sensación de que es un apaño para conectar $P(T \le t)=1-e^{- \lambda t}$ con $P(X>0)=1-P(X=0)=1-e^{- \lambda}$.

También, he visto que hacen la conexión de una distribución de poisson, $P(X>0)$ en un intervalo de tiempo (t) con una distribución exponencial $P(T \le t)$, porque es numéricamente igual. No niego su parecido, pero no me es suficiente para demostrar su igualdad.

Es como decir, que el trabajo $(W=F*d)$ es lo mismo que el momento de torsión $(\tau = F*d)$ solo porque las formulas son muy parecidas y comparten las mismas unidades.

Gracias por su atención.