Divulgación Máximo número de partidas de poker...

[skan]

Imaginad que tenemos 16 jugadores de poker y los agrupamos en subgrupos de 4 para que jueguen partidas entre sí en 4 mesas.
Luego vuelves a hacer subgrupos de modo que ninguno coincida otra vez.
Y así sucesivamente.


¿Cuál es el mayor número posible de partidas que puede jugar un jugador?
¿Cuantas opciones diferentes hay?


Una solución por fuerza bruta eficiente estaría bien, ¿Cuál sería el mejor modo de plantearlo?
y una simple ecuación mejor todavía.

[carroza]

Re: Máximo número de partidas de poker...

5 partidas.
El jugador tiene 15 contrincantes. En cada partida juega con 3 de ellos.

Saludos.

[Richard R Richard]

Re: Máximo número de partidas de poker...

Yo habia pensado lo mismo carroza .Si $N$ es numero total de jugadores. Cada jugador tiene $N-1$ rivales. del mismo modo en cada subgrupo de $n$ jugadores tiene $n-1$ compañeros de mesa rivales.
De modo que se podria pensar que la cantidad de mesas en las que puede participar sin repetir rival serían
$M=\dfrac{N-1}{n-1}$
Para el caso que planteas serian como máximo 5 partidas...pero no sería cierto
Cada partida limita el número de jugadores que puede volver a sentarse en la mesa
Al cabo de 3 partidas cualquier jugador jugo contra 9 rivales Incluyendolo a el van 10 y el segundo jugador habra jugado con 4 de los disponibles con el incluido van 15 por lo que se puede elegir un tercer jugador pero no un cuarto sin repetir
así que el máximo es 3
El número de mesas distintas que se pueden formar es el combinatorio de 4 en 16

[d_tentor]

Re: Máximo número de partidas de poker...

Yo no sé si entendí bien la premisa, pero a fuerza bruta calculé que para cada jugador hay 455 subgrupos posibles tal que ninguno se repita completamente (se podrían repetir 2 o hasta 3 jugadores pero no el grupo completo)

Si numeramos los jugadores, por ejemplo, el jugador #1 comenzaría jugando con los jugadores #2, #3 y #4 y terminaría con los jugadores #14, #15 y #16.

La combinación de jugadores 1,2,3 tiene 13 combinaciones por delante.
La combinación de jugadores 1,2,4 tiene 12 combinaciones por delante.


La combinación: 1,2 tiene 91 combinaciones por delante
La combinación: 1,3 tiene 78 combinaciones por delante
Y así sucesivamente

Así 1 tendría 455 combinaciones por delante.

[Richard R Richard]

Re: Máximo número de partidas de poker...

Tu estas hablando de que no se repita el mismo subgrupo y nosotros que no se enfrenten el mismo par de jugadores en cualquier mesa.

[d_tentor]

Re: Máximo número de partidas de poker...

Tu estas hablando de que no se repita el mismo subgrupo y nosotros que no se enfrenten el mismo par de jugadores en cualquier mesa.

No tengo la mímima idea de como se juega poker, pensé que se enfrentaban 4 contra 4.

De cualquier modo, el enunciado habla de que no se repitan los subgrupos.
Si fuera ese el caso, ¿el resultado sería correcto?
Buscando un poco las mesas son variables, si el enunciado dice que las mesas son de 4 entonces estimo que mi planteo estaba bien.

[carroza]

Re: Máximo número de partidas de poker...

Ok, R3. Tienes razon.

Una forma gráfica de ver los grupos es hacer una matriz 4x4 de los 16 jugadores.

$\begin{array}{cccc} a&b&c&d \\ e&f&g&h \\ i&j&k&l \\ m&n&o&p<br /> \end{array}$

Las primeras 4 partidas de grupos de 4 las pueden hacer los que están en la misma fila: $(abcd), (efgh), (ijkl), (mnop)$

Las segundas 4 partidas de grupos de 4 las hacen los que estan en la misma columna: $(aeim), (bfjn), (cgko), (dhlp)$

Las terceras 4 partidas las hacen las que estan en la diagonal principal, y sus paralelas (tipo determinante): $(afkp), (bglm), (chin), (dejo)$.

Y a partir de aqui, no puedo hacer ningun grupo de 4 que no se hayan visto antes.

Saludos

[d_tentor]

Re: Máximo número de partidas de poker...

Y a partir de aqui, no puedo hacer ningun grupo de 4 que no se hayan visto antes.

El grupo (abgh) no está, tampoco (abkl) y tantos más.

En el enunciado

Luego vuelves a hacer subgrupos de modo que ninguno coincida otra vez.

Refiere a ningun subgrupo, no a jugadores.

En tal caso, aun cuando algunos jugadores coincidan los grupos son distintos.

Generalizando:
J = Cantidad total de jugadores
M = Cantidad de jugadores por mesa
C = Cantidad de mesas posibles

$C = \sum_{i=1}^{J-(M-1)}i(i+1)/2$

[carroza]

Re: Máximo número de partidas de poker...

Hola "ninguno coincida otra vez" lo interpretó cómo "ningún jugador coincide otra vez en el mismo grupo".

Si lo interpretas cómo "ningún grupo de 4 coincide otra vez" entonces la solución es trivial. Combinaciones de 16 tomadas de 4 en 4.

Saludos.

[d_tentor]

Re: Máximo número de partidas de poker...

Hola "ninguno coincida otra vez" lo interpretó cómo "ningún jugador coincide otra vez en el mismo grupo".

Sería interesante que el autor del tema lo aclare, de cualquier forma no es lo que se interpreta, es lo que se dice.

Si lo interpretas cómo "ningún grupo de 4 coincide otra vez" entonces la solución es trivial. Combinaciones de 16 tomadas de 4 en 4.

Saludos.

Tal vez soy medio ignorante, ¿te podrías explayar mas?

[carroza]

Re: Máximo número de partidas de poker...

Hola.

Un problema clásico de combinatoria es, partiendo de m elementos, obtener todos los grupos de n elementos diferentes, sin importar el orden de estos n. Esto se denomina "combinaciones de m elementos tomados de n en n", y se representa por el numero combinatorio

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

En tu caso, [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Saludos

[Richard R Richard]

Re: Máximo número de partidas de poker...

Ok, R3. Tienes razon.

Una forma gráfica de ver los grupos es hacer una matriz 4x4 de los 16 jugadores.

$\begin{array}{cccc} a&b&c&d \\ e&f&g&h \\ i&j&k&l \\ m&n&o&p<br /> \end{array}$

Las primeras 4 partidas de grupos de 4 las pueden hacer los que están en la misma fila: $(abcd), (efgh), (ijkl), (mnop)$

Las segundas 4 partidas de grupos de 4 las hacen los que estan en la misma columna: $(aeim), (bfjn), (cgko), (dhlp)$

Las terceras 4 partidas las hacen las que estan en la diagonal principal, y sus paralelas (tipo determinante): $(afkp), (bglm), (chin), (dejo)$.

Y a partir de aqui, no puedo hacer ningun grupo de 4 que no se hayan visto antes.

Saludos

Jajaja!!! Me has espiado las cartas???
Tengo la misma matriz con las mismas filas y diagonales hechas en papel y lapiz... Saludos

[skan]

Re: Máximo número de partidas de poker...

Uy, perdonad, pero se me había olvidado indicar la opción de recibir correos automáticos.

Para este caso me salen que cada jugador como mucho puede hacer hasta 5 rondas.

Por ejemplo

abcd-efgh-ijkl-mnop
aeim-bfjn-cgko-dhlp
afkp-ebol-inch-mjgd
mfcl-enkd-ibgp-ajoh
angl-ejcp-ifod-mbkh

Lo difícil es obtener una formula genérica para números mayores.


Otra cosa es que esas 5 rondas puden darse de diferentes maneras, pero eso es más complicado de usar.

5 partidas.
El jugador tiene 15 contrincantes. En cada partida juega con 3 de ellos.

Saludos.

Esa es la respuesta trivial, y en este caso coincide pero en general no. La razón es muy simple, no estás comprobando que los demás jugadores no vuelvan a coincidir entre sí.
Como máximo cada uno juega 5 rondas pero después hay que justificar que efectivamente existe alguna configuración de grupos donde se alcanza ese máximo posible.

- - - Actualizado - - -

Hola.

Un problema clásico de combinatoria es, partiendo de m elementos, obtener todos los grupos de n elementos diferentes, sin importar el orden de estos n. Esto se denomina "combinaciones de m elementos tomados de n en n", y se representa por el numero combinatorio

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

En tu caso, [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Saludos

Eso no es lo mismo, eso sería las formas en las que puedes agrupar 16 individuos en grupos de 4, pero no tiene en cuenta que las agrupaciones simultáneas ni la condición de que no vuelvan a coincidir...

[carroza]

Re: Máximo número de partidas de poker...

Bravo, skan.

Si parto de la matriz 4x4, tu solución consiste en coger, para acompañar cada elemento, los elementos de su fila, los elementos de su columna y, quitando la fila y columna, los tres conjuntos de elementos que aparecen con un signo dado al hacer el determinante de la matriz 3x3 restantes.

Por ejemplo, para a, tienes lo de su fila
(a,bcd)
los de su columna
(a,eim)
y quitando fila y culumna, de la matriz 3x3 que te queda, la diagonal principal
(a,fkp)
y las dos diagonales paralelas, con el elemento opuesto
(a,gln)
(a,joh)

Saludos

[skan]

Re: Máximo número de partidas de poker...

Bravo, skan.

Si parto de la matriz 4x4, tu solución consiste en coger, para acompañar cada elemento, los elementos de su fila, los elementos de su columna y, quitando la fila y columna, los tres conjuntos de elementos que aparecen con un signo dado al hacer el determinante de la matriz 3x3 restantes.

Por ejemplo, para a, tienes lo de su fila
(a,bcd)
los de su columna
(a,eim)
y quitando fila y culumna, de la matriz 3x3 que te queda, la diagonal principal
(a,fkp)
y las dos diagonales paralelas, con el elemento opuesto
(a,gln)
(a,joh)

Saludos

Lo difícil, lo que yo no sé, es encontrar una formula que te lo diga para cualquier número de jugadores sin tener que hacer un bruteforce, por ejemplo 100 jugadores en bloques de 5, o 64 en grupos de 8. ¿Cómo harías eso con tu método?

Los matemáticos creo que lo hacen con cosas de álgebras F2,2, pero no entiendo nada.