1r ciclo Demostracion de la regla de pascal

[DMazrmx]

Hola a todos, despues de unas vacaciones regreso a la escuela, me dejaron algunas demostraciones sencillas en la combinatorio, la unica que no he podido hacer es la siguiente, denominada regla de pascal:

$\displaystyle\binom{n+1}{k}=\displaystyle\binom{n}{k-1}+\displaystyle\binom{n}{k}$

Inicie partiendo de la definicion:
$\displaystyle\binom{n!}{\overline{k!(n-1)!}}$,
los problemas son casi inmediatos, cuando llego a:
$\displaystyle\binom{n!(n+1)}{\overline{k!(n+1-k)!}}$, luego me atoro y ya no sale, gracias.

[pod]

Re: Demostracion de la regla de pascal

Es una propiedad muy importante, ya que permite definir el triángulo de Tartaglia (junto con la simetría $k \to n-k$). La demostración no es muy complicada si la haces al revés, es decir, partir del lado derecho de la igualdad para llegar al izquierdo. Para ello, substituye lo que son los números combinatorios del segundo miembro y saca factor común de

$$\frac{n!}{(k-1)! (n-k)!}\ .$$

Verás como te sale en seguida. Si no es así, no dudes en preguntarnos donde te vuelves a atascar.

[DMazrmx]

Re: Demostracion de la regla de pascal

perdon por la tardanza para responder, pues no me termino por salir, pero el consejo me acerco mucho a la respuesta, solo tuve un problema con las propiedades del factorial, lo que no me permitio llegar a la respuesta final, aunque igual gracias.

[pod]

Re: Demostracion de la regla de pascal

El segundo miembro de la igualdad es

$$\begin{aligned}<br /> \frac{n!}{(k-1)! (n-k+1)!} + \frac{n!}{k! (n-k)!} & = \frac{n!}{(k-1)! (n-k+1) (n-k)!} + \frac{n!}{k (k-1)! (n-k)!} \\<br /> & = \frac{n!}{(n-k)! (k-1)!} \left( \frac1{n-k+1} + \frac1{k} \right) \\<br /> & = \frac{n!}{(n-k)! (k-1)!} \frac{k+(n-k+1)}{(n-k+1) k} \\<br /> & = \frac{(n+1) n!}{ (n-k+1)(n-k)! \ k(k-1)!} \\<br /> & = \frac{ (n+1)! }{ (n-k+1)! k! } = { n+1 \choose k } \ .<br /> \end{aligned}$$