Distribución gaussiana

[rruisan]

Tengo estos problemas el cual solo hecho el inciso a) cualquier sugerencia para el inciso b) y c) se los agradeceria.

a) Mostrar que la distribucion gaussiana de p(x) es

$\int_{-\infty}^{\infty}p(x)=1$

la cual me da:

$\frac{1}{\sqrt{2\pi Dt}}\int_{-\infty}^{\infty}\rm e^{-\frac{x^2}{2Dt}}dx$

$\frac{1}{2\pi Dt}\int_{-\infty}^{\infty}\sqrt{2Dt}\rm e^{-\frac{u^2}{2}}du$

$\frac{1}{2\pi}\int_{-infty}^{\infty}\rm e^{-\frac{u^2}{2}}du=1$

b) calcular el momento central $nth$ donde $n=0,1,2 \textrm{y} 3$

c) En el límite $\sigma \to \infty$ qué tipo de distribución es donde se acercó a

$p(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}exp\left(\frac{(x-\bar{x})^2}{2\sigma^2}\right)$

[pod]

Re: Distribución gaussiana

b) calcular el momento central $nth$ donde $n=0,1,2 \textrm{y} 3$

Tienes que hacer la integral

$$\int_{-\infty}^\infty x^n p(x) \dd x \ .$$

Intenta hacerla por partes.

c) En el límite $\sigma \to \infty$ qué tipo de distribución es donde se acercó a

$p(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}exp\left(\frac{(x-\bar{x})^2}{2\sigma^2}\right)$

Haz el cambio de variables $s = 1/\sigma$, y saca el desarrollo de Taylor para s hasta segundo orden. Verás que te sale una constante (independiente de x y de la media); lo cual significa que si la desviación es muy grande, la distribución se aproxima a una distribución constante (cuanto mayor es la desviación, más dispersa está la distribución; en el límite, acaba siendo uniforme en todo el espacio, ya no hay información de la media).

[rruisan]

Re: Distribución gaussiana

Intente hacer el inciso b) Me sale:

$\bar{x}'^{n}=\int_{-\infty}^{\infty}dx'x'^{n} P(x')$

$\bar{x}'^{n}=\frac{1}{2\sigma \pi}\int_{-\infty}^{\infty}x'^{n-1}x'e^{-\frac{x'^2}{2\sigma^2}}dx'$

donde al integrar por parte solo me queda esto:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Al reescribir para volver a integrar me queda:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

donde al integra me queda esto:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

No se si hasta aqui voy bien o tengo que hacer otra cosa!

[pod]

Re: Distribución gaussiana

Me parece que vas bien. Tendrás que hacerlo n-1 veces, hasta que tengas la integral inmediata $x \eee{-x^2}$.

Por cierto, es posible que te salga más rápido si, en vez de eso, utilizas la definición de la función gamma. Al final debería ser equivalente claro.