1r ciclo Duda con una inecuación

[Ulises7]

A ver, estoy haciendo unos exámenes de la UNED y quiero demostrar que la solución a la cuestión:

El conjunto de valores de x para los que se verifica la desigualdad

$$x + \dfrac{1}{x} \geq 2$$

es:

a) $\left ( 0,+\infty \right )$

b) $\left [ 1,+\infty \right )$

c) $\left [ 2,+\infty \right )$

Es efectivamente la a), poniendo valores menores que 1 y mayores que 0 se puede observar que siempre es mayor que 2, además si resuelvo la inecuación obtengo que para x = 1 se verifica la igualdad, pero no sé como demostrarlo de forma rigurosa... ¿alguna idea?

[arreldepi]

Re: Duda con una inecuación

Hola, puedes hacer un estudio del signo de la función:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Te dibujas una tabla y escribes los puntos patológicos de la función (x=0), y las raíces de la ecuación:

$(-\infty,0)$	$(0,1]$	$[1,\infty)$
-	+	+

En estos puntos, la ecuación es mayor que cero, por tanto, son solución de la inecuación.

Un saludo!

[electr0n]

Re: Duda con una inecuación

Hola Ulises, majo

El problema de esta inecuación es que al resolverla por el método tradicional queda:

$x^2-2x+1=(x-1)^2\geq 0$

lo cual se cumple para cualquier x. Esto es consecuencia de haber multiplicado toda la expresión por x, procedimiento que introduce soluciones adicionales.

A mí se me ocurre un método alternativo. Tomamos la función de x que nos dan:

$<br /> \displaystyle f(x)=x+\frac{1}{x}<br />$

Ahora calculamos su primera y segunda derivada:

$<br /> \displaystyle f'(x)=1-\frac{1}{x^2}<br />$

$<br /> \displaystyle f''(x)=\frac{2}{x^3}<br />$

La primera derivada se anula cuando

$<br /> \displaystyle f'(x)=0\Rightarrow x=\pm 1<br />$

$\displaystyle f''(+1)=2>0\Rightarrow minimo$

$<br /> \displaystyle f''(-1)=-2<0\Rightarrow maximo<br />$

Esto significa que la función crece de $-\infty$ hasta -1 y decrece de -1 a 0; en 0 tiene una asíntota vertical (pues no está definida), sigue decreciendo hasta +1 y finalmente vuelve a crecer de +1 a $+\infty$. El recorrido de $f(x)$ es $(-\infty,-2]\cup [+2,+\infty)$, por lo que la función es $f(x)>2$ en el intervalo $(0,+\infty)$; la igualdad $f(x)=2$ se cumple para $x=1$ que está dentro de dicho intervalo, por lo tanto:

Solución: a) $(0,+\infty)$

Añado una gráfica de la función para que se vea claramente:

Saludos!!

[Ulises7]

Re: Duda con una inecuación

Bueno la explicación que buscaba era más tipo la que ha expuesto electr0n pero gracias a los 2, ya conocia la respuesta pero buscaba una forma matemática de demostrarla sin tener que recurrir al tanteo, había pensado en realizar la gráfica de la inecuación y ver qué ocurre, pero si me plantean esa cuestión en el exámen tardaria demasiado así que buscaba alternativas.

Por cierto electr0n ¿con qué realizas las gráficas?

[electr0n]

Re: Duda con una inecuación

pero si me plantean esa cuestión en el exámen tardaria demasiado así que buscaba alternativas.

Hombre, no hace falta dibujarla. Sólo hay que hacer un par de derivadas sencillas y buscar los extremos para intuir cómo se comporta, que es suficiente para resolverlo.

Las gráficas las hago con MATHEMATICA: http://www.wolfram.com/products/mathematica/index.html

Saludos!

[Ulises7]

Re: Duda con una inecuación

Hombre, no hace falta dibujarla. Sólo hay que hacer un par de derivadas sencillas y buscar los extremos para intuir cómo se comporta, que es suficiente para resolverlo.

Las gráficas las hago con MATHEMATICA: http://www.wolfram.com/products/mathematica/index.html

Saludos!

Yo comentaba dibujar la inecuación...

[electr0n]

Re: Duda con una inecuación

Las inecuaciones no se dibujan. Lo que se puede graficar es una FUNCIÓN f(x), mientras que la inecuación indica ciertos rangos de su recorrido que se asimilan a regiones del plano xy.

Saludos

[Al2000]

Re: Duda con una inecuación

Otra posibilidad:

Obviamente $x=0$ queda excluído de la solución.

Si $x>0$ entonces: $\dst x^2+1 \ge 2x \quad \Rightarrow \quad x^2-2x+1 \ge 0 \quad \Rightarrow \quad (x-1)^2 \ge 0 \quad \Rightarrow \quad x>0$

Si $x<0$ entonces: $\dst x^2+1 \le 2x \quad \Rightarrow \quad x^2-2x+1 \le 0 \quad \Rightarrow \quad (x-1)^2 \le 0 \quad \Rightarrow \quad$ x --> conjunto vacío

Entonces la solución es la a).

Saludos,

Al

[pod]

Re: Duda con una inecuación

Las inecuaciones no se dibujan. Lo que se puede graficar es una FUNCIÓN f(x), mientras que la inecuación indica ciertos rangos de su recorrido que se asimilan a regiones del plano xy.

Saludos

Sí que se pueden dibujar. Sólo que en vez de líneas, son áreas. Por ejemplo, el circulo viene definido por $x^2 + y^2 \le r^2$.

El problema de esta inecuación es que al resolverla por el método tradicional queda:

$x^2-2x+1=(x-1)^2\geq 0$

lo cual se cumple para cualquier x. Esto es consecuencia de haber multiplicado toda la expresión por x, procedimiento que introduce soluciones adicionales.

Esto no es un problema. Simplemente, hay que hacer los dos casos por separado, como ha hecho al.

[electr0n]

Re: Duda con una inecuación

Sí que se pueden dibujar. Sólo que en vez de líneas, son áreas. $x^2 + y^2 \le r^2$.

A eso me refería con regiones del plano xy. Sin embargo, en este caso, dada la ausencia de un parámetro (tipo $r$, el radio, en la expresión del círculo) no veo manera de expresar la inecuación como un área. Aquí se verifica que $\displaystyle x+\frac{1}{x}$ es mayor o igual que 2 para todas las abscisas positivas excluyendo el 0, es decir, el resultado es una línea dada por $\displaystyle f(x)=x+\frac{1}{x}$ con $x>0$.

Un saludo!

[pod]

Re: Duda con una inecuación

A eso me refería con regiones del plano xy. Sin embargo, en este caso, dada la ausencia de un parámetro (tipo $r$, el radio, en la expresión del círculo) no veo manera de expresar la inecuación como un área. Aquí se verifica que $\displaystyle x+\frac{1}{x}$ es mayor o igual que 2 para todas las abscisas positivas excluyendo el 0, es decir, el resultado es una línea dada por $\displaystyle f(x)=x+\frac{1}{x}$ con $x>0$.

Un saludo!

Se representan como una región del plano OXY sí la desigualdad involucra dos variables. Si involucra tres, será una región del espacio OXYZ. En este caso, sólo involucra una, y por lo tanto es una región del eje OX, es decir, un segmento. En este caso, sería algo así:

----------------------+(======================)

(Vivan los dibujos ascii )