1r ciclo ¿Cómo lo demuestro?

[Ulises7]

Pues quiero demostrar que la solución a:

El número de soluciones reales de la ecuación $x^3 - 12x + 1 = 0$ es:

a) 1.

b) 2.

c) 3.

Es la c), diria que hay un teorema matemático, si no me equivoco enunciado por Gauss, que establece que el máximo grado de una ecuación es el que marca el número de soluciones que tiene, la duda que tengo es que aqui es sólo conocer la teoria y afirmar que es la c), o se puede demostrar de alguna forma...

Espero no haber dicho muchas burradas.

Edito: no sé si realmente es la c) o cualquier otra, ya que sé que tienes 3 raíces complejas pero no sé cuantas reales...

Gracias

[Entro]

Re: ¿Cómo lo demuestro?

Busca: teorema fundamental del algebra

y a partir de ahí a disfrutar...

[Ulises7]

Re: ¿Cómo lo demuestro?

Bueno no iba mal encaminado, tengo que comprobar de una forma que aún desconozco cuantas raíces reales tiene la ecuación, sé que tiene 3 raíces complejas pero tengo que ver cuales de ellas son reales...

[SO3]

Re: ¿Cómo lo demuestro?

Solo hay una raiz real. La funcion tiene 2 puntos criticos , entre ellos hay exactamente una raiz por un argumento de conexidad, en uno de los puntos criticos la funcion es positiva y en el otro negativa y es inyectiva, y fuera de los rayos de nuevo por un argumento de monotonia la funcion no se anula.

[electr0n]

Re: ¿Cómo lo demuestro?

Esto me recuerda al método de Cardano-Vieta. Las ecuaciones de 3er grado son un tanto complicadas, pero hay métodos como ese para verificar qué tipo de soluciones hay. Lo que está claro es que si es de 3er grado, tiene 3 soluciones (Teorema fundamental del Álgebra), y en este caso resultan ser reales las 3.

Cuando tenga un rato lo miro...

Saludos

[Phoenix]

Re: ¿Cómo lo demuestro?

¿Y que hay de bolzano?

Tiene justo 3 soluciones. Dos de ellas son positiva y negativa respectivamente. Bolzano garantiza que hay al menos un punto que está contenido en el intervalo. Como por el teorema fundamental del álgebra ha de tener 3 soluciones sólo por lo que nos queda la esta última.

Para verlo http://fooplot.com/index.php?q0=x^3-12*x+1

Saludos

[Ulises7]

Re: ¿Cómo lo demuestro?

Bueno gracias por pasaros pero sinceramente poco me ayudáis si me dices que hay una raíz por argumento de conexidad , decir que curso 2º de bachillerato pero que me he animado a hacer éstos exámenes ya que la mayor parte de las cuestiones las puedo hacer, otras en cambio como ésta no...

[lucass]

Re: ¿Cómo lo demuestro?

Sabés cómo darte una idea de una función analizando las derivadas??
Fijate que en este caso, obviamente tomando como función $x^3-12x+1$, la primera derivada es $3x^2-12$.
Esta primera derivada es, evidentemente, positiva para x mayor a 2 y x menor a -2. O sea que en los intervalos $(- \infty, -2)$ y $(2, + \infty)$ la función es creciente. (eso es teorema que se demuestra, no me acuerdo si tiene algun nombre especial, puede que sea algo así como "criterio de la derivada primera", o puede que no, jeje, pero lo importante es que es así, y además se puede razonar bastante fácil).
Además, la función en -2 toma el valor 16 si no hice mal la cuenta, osea que f(-2) es positiva. Tomando un valor de x donde la función sea negativa, anterior a -2, como por ej.-5 ( f(-5)=-64) podés asegurar que, como f es continua, pues es un polinomio, para ir del valor -64 al valor 16 tuvo que haber pasado por cero al menos una vez (teorema de Bolzano?? o weierstrass?) Con lo cual ya tenés que hay, seguro, una raíz al menos entre -5 y -2.
(lo anterior se puede argumentar de otra forma también, sin tomar un x particular, viendo que la función tiende a menos infinito cuando x tiende a menos infinito, y listo, pero por ahí como lo puse más arriba es más visible.)
Después hacés lo mismo con un x mayor a 2. Puesto que f(2)=-15 y f(5)=66 entonces tiene que haber una raíz entre 2 y 5.
Y ahora ya está porque usás el teorema fundamental de álgebra.
Si hay al menos 2 raíces reales, y el polinomio es de grado tres, entonces la raíz restante tiene que ser real también, porque las raíces complejas aparecen de a pares (si a+bi es raíz, a-bi también lo es)
De todas formas con argumento similar podemos decir que entre -2 y 2 tiene que haber una raíz porque f(-2)>0 y f(2)<0.
Después el límite de que no puede haber más raíces lo sacás del teorema fundamental.
Buno espero no haber metido la pata en algo. Hace mucho que no repaso nada de esto, pero se me ocurre que es un razonamiento válido pàra justificar la respuesta.
Saludos

[pod]

Re: ¿Cómo lo demuestro?

Ulises, tienes la demostración en la wikipedia: http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema...l_%C3%A1lgebra

Si nos restringimos a los reales, una ecuación de tercer grado puede tener una o tres soluciones. La que tú pones, tiene tres.

[Ulises7]

Re: ¿Cómo lo demuestro?

Ulises, tienes la demostración en la wikipedia: http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema...l_%C3%A1lgebra

Si nos restringimos a los reales, una ecuación de tercer grado puede tener una o tres soluciones. La que tú pones, tiene tres.

Ya lo había visto pero gracias igualmente.

Bueno veo que el teorema de Bolzano es muy útil... y lucass he entendido lo que has expuesto, sólo que aun tengo que coger practica con lo de analizar funciones, apenas estoy empezando. Ya lo entiendo, gracias