Secundaria Area cuadrado>Area rectangulo para misma diagonal

[zarza87]

Hola, me gustaría probar que el cuadrado tiene mayor área que el rectangulo cuando ambos comparten la misma diagonal d. Yo empecé a resolver este problema, pero me he atascado en un punto. Tomé como lados del rectángulo a,b, entonces se cumple por Pitágoras a^2 + b^2 = d^2. Por otro lado sabemos que el área del cuadrado es A(cuad)= (d^2)/2 , si sustituímos d^2 en función (a,b) tendríamos A(cuad)=(a^2 + b^2)/2
El área del rectángulo sería A(rectan)=a·b. Yo lo que quiero probar es que A(cuad)>A(rectan), es decir, (a^2 + b^2)/2 > a·b --> (a^2 + b^2) > 2a·b para todo a,b perteneciente a los Reales. Esta última expresión a simple vista parece verificarse, pero a mi me gustaría que me diérais la demostración rigurosa. Gracias[FONT=&quot][/FONT]

[Al2000]

Re: Area cuadrado>Area rectangulo para misma diagonal

El área del rectángulo sería A(rectan)=a·b. Yo lo que quiero probar es que A(cuad)>A(rectan), es decir, (a^2 + b^2)/2 > a·b --> (a^2 + b^2) > 2a·b para todo a,b perteneciente a los Reales.

Un poco mas restringido que "perteneciente a los Reales"... fíjate que la desigualdad no es cierta para a = 0, b = 0 o a = b.

La de mostración puede hacerse usando cálculo buscando el máximo de A = a·b cuando variamos a o b manteniendo a+b constante. Una demostración puramente lógica usando argumentos de simetria es que el área a·b es cero cuando a = 0 o b = 0. Para cualquier otra partición de a+b el área será algún valor positivo. Como a y b son equivalentes deberá existir un máximo cuando a+b se divida en partes iguales. Claro este razonamiento tiene el hueco de asumir que existe un solo valor extremo de a·b y no tengo la mas mínima idea si es posible demostrar eso por simple razonamiento lógico.

Saludos,

Al

PD. Siempre puedes poner que (a-b)^2 >= 0 ==> a^2 + b^2 - 2a·b > = 0 ==> a^2 + b^2 >= 2a·b

[zarza87]

Re: Area cuadrado>Area rectangulo para misma diagonal

Sí, muchisimas gracias Al2000. En realidad quería y debería haber puesto (a^2 + b^2) >= 2a·b. Estaba pensando también en el caso de la igualdad, lo que pasa que por despiste no la he puesto. Realmente la demostración que estaba buscando es la que has puesto en el postdata "(a-b)^2 >=0.....", yo sabía que se podía resolver este problema mediante "multiplicadores de Lagrange", pero estaba buscando una forma un poco más fácil de hacerlo. El método este de la simetría no lo he acabado de entender, si me lo pudieras explicar mejor... Gracias!

[Al2000]

Re: Area cuadrado>Area rectangulo para misma diagonal

El método este de la simetría no lo he acabado de entender, si me lo pudieras explicar mejor...

Lo intentaré sin muchas esperanzas de expresarme mejor. Digamos que tienes una cantidad L = a+b > 0 que vas a particionar en dos cantidades a > 0 y b > 0 sujeto a la condición de que el producto A = a·b > 0 sea máximo. Si pones a = x, b = L - x, a <= x <= b, la cantidad A = a·b = x·(L-x) toma el valor cero en los extremos de [0,L]. Entonces asumiendo que A es continua debe existir (al menos) un máximo en (0,L) (caso contrario A sería cero en todo el intervalo). Y como los papeles de a y b son intercambiables el máximo debe estar en la mitad del intervalo.

El mismo ejemplo del área del cuadrado se repite en el caso de la máxima fuerza entre dos cargas puntuales cuyas cargas suman una cierta cantidad fija. La máxima fuerza se obtiene cuando la carga total se reparte equitativamente (siempre que pongamos la condición adicional que las dos partes deben ser del mismo signo).

Saludos,

Al