2o ciclo Matrices

[rruisan]

Buenas noches! tengos los siguientes problemas que no he podido resolver les agradeceria cualquier comentario o sugerencia! Gracias de antemano!

1.-Si A es una matriz cuadrada, demostrar que:

a) $e^A$ es no singular
b) $(e^A)^{-1}=e^{-A}$

2.- Demuestre que cualquiera dos eignevectores correspondientes a dos distintos eigenvalores de una matriz hermiteana son ortogonales.

[pod]

Re: Matrices

Se pueden resolver muy sencillamente si utilizas los teoremas sobre la exponencial de matrices (si no tienes "permiso" para usar dichos teoremas, tendrás que trabajar un poco más).

1. a)

Hay un teorema que dice

$$\det \eee{A} = \eee{ \mathrm{tr}\ A }$$

En el lado derecho de la igualdad, la traza es un número real, y la exponencial es la normal de números (no la formal de matrices). La exponencial de números nunca da cero, y por lo tanto el determinante nunca dará cero, y la exponencial no será singular.


1. b)

Aquí el teorema a utilizar es

$$\eee{A} \eee{B} = \eee{A B} , \qquad \text{si}\ [A,\ B] = 0 .$$

Las matrices $A$ y $-A$ obviamente conmutan, así que demostrar que $\eee{-A}$ es la inversa de $\eee{A}$ es trivial,

$$\eee{A} \eee{-A} = \eee{A - A} = \eee{0} = \mathbb{I} .$$

2)

Esto deberías tenerlo en los apuntes de álgebra lineal, ¿no?