1r ciclo problema triangulo equilatero

[MIMOSA]

hola compañeros, me gustaria saber si alguien me podri ayudar a demostrar que si tienes tres puntos con la misma norma y la suma de estos tres da cero, estamos hablando de un triangulo equilatero.
empeze por tratar de demostrar que la distancia entre ellos ellos es igual i e que la distancia p1 a p2 es igual que la de p2 a p3 y asi, primero pues considere estas igualdades al cuadrado asi te borras las raices, y es mas facil, y ya desarrollo los cuadrados y voy moviendo con ayuda de las igualdades que me dan pero no me sale. espero alguien me pueda ayudar.

[Jose D. Escobedo]

Re: problema triangulo equilatero

Me gustaria ayudarte, pero no se a que refieres con "la misma norma"

saludos j
Jose

[MIMOSA]

Re: problema triangulo equilatero

mmm.. creo que lo dije mal jeje, ok si tienes tres puntos en el plano X y Y tales que su distancia al origen es la misma, y la suma de estos tres dan cero, entonces estamos hablando de un triangulo equilatero, hay sigo atarada en la demostracion. disculpen las molestias perdon¡¡¡y gracias¡¡¡¡

[GNzcuber]

Re: problema triangulo equilatero

Hola MIMOSA,

Te estás queriendo referir a los radiovectores, o vectores de posición, de los puntos, ya que las normas por definición son siempre positivas o iguales a cero y por lo tanto la suma nunca será cero, a menos que estemos hablando de la norma de tres vectores nulos.
La distancia se define a partir de la norma, así que siempre será positiva también, o igual a cero, y tendrás el mismo problema que antes.

Ahora, tienes tres puntos coordenados $\dst A(x_1,y_1)$, $\dst B(x_2,y_2)$ y $\dst C(x_3,y_3)$. Tal que son equidistantes del origen $\dst |\vec{OA}|=|\vec{OB}|=|\vec{OC}|=r$. Y la suma de los tres es cero:

$$\dst \vec{r_1}+\vec{r_2}+\vec{r_3}=(x_1,y_1)+(x_2,y_2)+(x_3,y_3)=(x_1+x_2+x_3,y_1+y_2+y_3)=0$$

Para que se cumpla que es un triángulo equilátero se debería demostrar que las distancias $\dst r_{AB}=r_{BC}=r_{AC}$.

$$\dst \left\{\begin{aligned}\left.\begin{aligned}r_{AB}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\\x_1=-x_2-x_3\\y_1=-y_2-y_3\end{aligned}\right\}r_{AB}=\sqrt{(2x_2+x_3)^2+(2y_2+y_3)^2}\\ \left.\begin{aligned}r_{AC}=\sqrt{(x_3-x_1)^2+(y_3-y_1)^2}\\x_1=-x_2-x_3\\y_1=-y_2-y_3\end{aligned}\right\}r_{AC}=\sqrt{(2x_3+x_2)^2+(2y_3+y_2)^2}\\ \left.\begin{aligned}r_{BC}=\sqrt{(x_3-x_2)^2+(y_3-y_2)^2}\\x_3=-x_2-x_1\\y_3=-y_2-y_1\end{aligned}\right\}r_{BC}=\sqrt{(2x_2+x_1)^2+(2y_2+y_1)^2}\end{aligned}\right.$$

Mmmm... veo que incluso no hacía falta tanto, porque lo que sigue se podía hacer desde el principio:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Con esto sólo haría falta demostrar que los productos escalares de cada par de vectores son iguales entre sí.

Pero ahora mismo no se me ocurre como y debo dormir, mañana si puedo lo sigo.

¡Saludos!

[Al2000]

Re: problema triangulo equilatero

...
Con esto sólo haría falta demostrar que los productos escalares de cada par de vectores son iguales entre sí.
...

A lo mejor hay una forma mas corta, pero se me ocurre que podrías hacer

$$\vec {r_1} \cdot \vec {r_2} = x_1 x_2 + y_1 y_2 = -x_1 (x_1+x_3)-y_1 (y_1+y_3) = -r^2 -\vec {r_1} \cdot \vec {r_3}$$

y análogamente

$$\vec {r_1} \cdot \vec {r_2} = x_1 x_2 + y_1 y_2 = -(x_2+x_3) x_2 - (y_2+y_3) y_2 = -r^2 -\vec {r_2} \cdot \vec {r_3}$$

de donde

$$\vec {r_1} \cdot \vec {r_3} = \vec {r_2} \cdot \vec {r_3}$$

y como los índices no tienen nada de particular se concluye que

$$\vec {r_1} \cdot \vec {r_2} = \vec {r_1} \cdot \vec {r_3} = \vec {r_2} \cdot \vec {r_3}$$

Saludos,

Al

PD. Si se suman las dos primeras ecuaciones y se usa el último resultado, se puede concluir entonces que

$$\vec {r_1} \cdot \vec {r_2} = \vec {r_1} \cdot \vec {r_3} = \vec {r_2} \cdot \vec {r_3} = - \frac 1 2 r^2$$

y por consiguiente

$$r_{AB} = r_{AC} = r_{BC} =\sqrt 3 \, r$$

[pod]

Re: problema triangulo equilatero

Una forma más "pulcra" de hacerlo (lo pongo porque conviene aprender a hacerlo todo en general, sin depender de las coordenadas... por ejemplo, si el producto escalar no se puede escribir como suma de coordenadas cartesianas).

Queremos demostrar

$$| \vec r_1 - \vec r_2 | = | \vec r_2 - \vec r_3 | = | \vec r_1 - \vec r_3 | .$$

Tomemos por ejemplo la primera igualdad (las otras son idéntica rebautizando índices). Elevando al cuadrado (es decir, haciendo el producto escalar consigo mismo)

$$( \vec r_1 - \vec r_2 )^2 = ( \vec r_ 2 - \vec r_3 )^2.$$

Desarrollando el binomio de Newton,

$$2 r - 2 \vec r_1 \cdot \vec r_2 = 2 r - 2 \vec r_2 \cdot \vec r_3 .$$

Donde hemos usado que todos los vectores tienen el mismo módulo. Simplificando, nos queda la misma condición,

$$\vec r_1 \cdot \vec r_2 = \vec r_2 \cdot \vec r_3 .$$

Ahora aplicamos la condición que todos los vectores suman cero, de donde $\vec r_3 = -\vec r_1 - \vec r_2$,

$$\vec r_1 \cdot \vec r_2 = - r^2 - \vec r_1 \cdot \vec r_2 \Longrightarrow \vec r_1 \cdot \vec r_2 = - \frac12 r^2.$$

Podemos hacer lo mismo para cualquier par de índices, y el resultado no cambiará. Eso completa la demostración $\Box$.

[MIMOSA]

Re: problema triangulo equilatero

muchas gracias amigos¡¡¡¡¡¡, creo no era buena mi idea de sasarrollar las cuadrados, ya que salia algo muy enredado, de verdad se los agradezco¡¡¡¡¡¡, y mejor aun, ahora ya se cual es la distancia de cada lado, eso si es bonito. gracias por ayudarme e iluminar mi cabeza¡¡¡ jeje ARIGATO¡¡¡¡¡

[GNzcuber]

Re: problema triangulo equilatero

...

$$( \vec r_1 - \vec r_2 )^2 = ( \vec r_ 2 - \vec r_3 )^2.$$

Desarrollando el binomio de Newton,

$$2 r - 2 \vec r_1 \cdot \vec r_2 = 2 r - \vec r_2 \cdot \vec r_3 .$$

...

Es $\dst r^2-2\vec{r_1}\cdot \vec{r_2}=r^2-2\vec{r_2}\cdot \vec{r_3}$

¡Gracias y saludos!

[carmelo]

Re: problema triangulo equilatero

Hola:
$\mathbf{r_1}+\mathbf{r_2}+\mathbf{r_3}=0$ y $\|\mathbf{r_1}\|=\|\mathbf{r_2}\|=\|\mathbf{r_3}\|=r$

$-\mathbf{r_1}=\mathbf{r_2}+\mathbf{r_3}$

Planteando el siguiente producto interno se tiene:

$\mathbf{r_1}\cdot(-\mathbf{r_1})=\mathbf{r_1}\cdot(\mathbf{r_2}+\mathbf{r_3})=-r^2$
por lo tanto
$\mathbf{r_1}\cdot\mathbf{r_2}+\mathbf{r_1}\cdot\mathbf{r_3}=-r^2$
De un modo similar podemos demostrar que:
$\mathbf{r_1}\cdot\mathbf{r_2}+\mathbf{r_2}\cdot\mathbf{r_3}=-r^2$
y que
$\mathbf{r_1}\cdot\mathbf{r_3}+\mathbf{r_2}\cdot\mathbf{r_3}=-r^2$

Combinando estas 3 igualdades se llega a que:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Ahora hay que calcular los lados del trangulo, que llamaremos $a$, $b$ y $c$.

$a^2=\|\mathbf{r_2}-\mathbf{r_1}\|^2=\|\mathbf{r_1}\|^2+\|\mathbf{r_2}\|^2-2\mathbf{r_1}\cdot\mathbf{r_2}=r^2+r^2-2\dst\frac{-r^2}{2}=3r^2\Rightarrow a=\sqrt3 r$
Analogamente para el lado $b$ se tiene:
$b^2=\|\mathbf{r_3}-\mathbf{r_2}\|^2=\|\mathbf{r_2}\|^2+\|\mathbf{r_3}\|^2-2\mathbf{r_2}\cdot\mathbf{r_3}=r^2+r^2-2\dst\frac{-r^2}{2}=3r^2\Rightarrow b=\sqrt 3 r$
Y por último para el lado $c$ se tiene:

$c^2=\|\mathbf{r_3}-\mathbf{r_1}\|^2=\|\mathbf{r_1}\|^2+\|\mathbf{r_3}\|^2-2\mathbf{r_1}\cdot\mathbf{r_3}=r^2+r^2-2\dst\frac{-r^2}{2}=3r^2\Rightarrow c=\sqrt3 r$

Saludos
Carmelo