Secundaria Sobre ecuaciones de 4º grado y n!

[angel relativamente]

Hola buenas, hoy en un ejercicio de mates de mi libro (en un apartado que hay problemas de pensar) he visto uno que me trae ocupado. Dice así:

Averigua el valor de n para el cual

$$\dst \frac{n!}{(n-4)!}=110355024$$

Mi planteamiento fue el siguiente:

$$\dst \frac{n\cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot (n-3) \cdot (n-4) \cdot \cdots \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(n-4)\cdot (n-5) \cdot (n-6) \cdot \cdots \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}=110355024$$

Simplificando la expresión:

$$n\cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot (n-3) - 110355024 = 0 \rightarrow n^4 -6n^3 +11n^2 -6n -110355024 =0$$

Como ven se me queda una ecuación de 4º grado (completita) y cuya única forma para resolverla que se me ocurre es por ruffini. PERO MIREN QUE NÚMERO TENGO: - 110355024

He sacado todos los factores de ese número y curiosamente uno de sus divisores es el 101, que es con el número con el que he hecho ruffini. (más concretamente con -101). Si he conseguido factorizarla con -101 quiere decir que una de sus soluciones ha de ser 101, pero no es así, tanteando he descubierto que n=104. y parece ser que es solución unica. Despues para factorizar la ecuación de 3er grado resultante con ruffini se me ha complicado mucho

Lo más curioso de todo es que en el ejercicio, abajo del todo pone una nota que dice:

Es más fácil de lo que parece: interpreta lo que se te pide, piensa un poco y utiliza tu calculadora

esto no me ha tranquilizado demasiado, se me está escapando el camino corto? ¿alguien sabe otro método para resolverlo?

Saludos y muchas gracias!

[GNzcuber]

Re: Sobre ecuaciones de 4º grado y n!

Hola Ángel,

La solución es n=104, también está lo solución n=-101, pero piensa que $\dst n\in\mathbb{N}$, por lo tanto la descartamos. En el libro dice que la solución es más fácil de lo que parece por concepto, es lo mismo que te pongan $\dst n^4-6n^3-11n^2-6n-110355024=0$ que $\dst x^2-5x+6=0$, si bien con números más grandes se complica te dice usar la calculadora.

Pero el procedimiento está bien, aunque yo no haría el "desarrollo" de ambos factoriales para ver qué simplificar, supongo que ya conoces la siguiente relación: $n!=n\cdot (n-1)!$, con lo que:

$$\dst \frac{n!}{(n-4)!}=\frac{n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot (n-3)\cdot (n-4)!}{(n-4)!}=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot (n-3)$$

¡Saludos!

P.D.: Hay otro camino más corto, yo no sé qué tan complicado fue hacer Ruffini, pero como dice "... y utiliza tu calculadora ...", pues fue eso lo que hice:

solve(n!/(n-4)!=110355024,n)

$\dst \frac{n!}{(n-4)!}=110355024$

n=-101 or n=104

.

[Al2000]

Re: Sobre ecuaciones de 4º grado y n!

...
esto no me ha tranquilizado demasiado, se me está escapando el camino corto? ¿alguien sabe otro método para resolverlo?
...

Si, es cierto, lo hice sacando DOS multiplicaciones con la calculadora. Como ya mostraste que el número que andas buscando es el producto n(n-1)(n-2)(n-3), lo que te faltó fue dar el paso conceptual de que andas buscando cuatro números consecutivos cuyo producto sea el número indicado. Entonces es fácil hacer un tanteo partiendo de la raiz cuarta del número dado.

Saludos,

Al

[Metaleer]

Re: Sobre ecuaciones de 4º grado y n!

Hola Ángel,

La solución es n=104, también está lo solución n=-101, ...

Cuidado, en general el factorial de un entero negativo no está definido.

Saludos.

[angel relativamente]

Re: Sobre ecuaciones de 4º grado y n!

en efecto, parece que la solución es hacer la raíz cuarta y tantear

Saludos y muchas gracias

[pod]

Re: Sobre ecuaciones de 4º grado y n!

Otra posibilidad es hacer la descomposición en primos $110355024 = 2^4 \cdot 3 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 101 \cdot 103$. El hecho que salgan el 101 y el 103 da una idea, después $102 = 2 \cdot 3 \cdot 17$ y $104 = 2^3 \cdot 13$ se reparten el resto de factores.

[angel relativamente]

Re: Sobre ecuaciones de 4º grado y n!

curiosamente había descompuesto el número en sus factores para hacer ruffini. Una pregunta, ¿qué metodo has empleado para descomponerlo? Yo estube probando "primo a primo" hasta llegar al 101 y realmente fue duro. ¿Lo has hecho mediante otro métido?

Saludos y muchas gracias!

[pod]

Re: Sobre ecuaciones de 4º grado y n!

curiosamente había descompuesto el número en sus factores para hacer ruffini. Una pregunta, ¿qué metodo has empleado para descomponerlo? Yo estube probando "primo a primo" hasta llegar al 101 y realmente fue duro. ¿Lo has hecho mediante otro métido?

Saludos y muchas gracias!

<_<

>_>

http://www.wolframalpha.com/input/?i...rize+110355024