1r ciclo Recta en R^2 ; plano en R^3

[skinner]

Hola, tengo una pregunta...

Sea el siguiente plano en el sistema ${R}^{3}$:

$x+y=1, \forall (x,y)\in {R}^{3} \Rightarrow \text{Plano que descansa sobre el plano xy}$

Pues bien, si consideramos la misma ecuación para un sistema ${R}^{2}$, tenemos una recta

$x+y=1, \forall (x,y)\in {R}^{2} \Rightarrow \text{Recta de pendiente }m=-1$

Primero, ya que ando un poco mal de geometría: ¿es correcto lo que expuse ahí arriba?

En caso de que sea incierto, me gustaría que me dejárais las ideas bien claras.

Segundo... en caso de que sea cierto... se puede considerar la recta en R^2 como una intersección de planos en R^3? Si la respuesta es sí, mi razonamiento es malo.

Espero vuestra ayuda, ¡un saludo!

[Jose D. Escobedo]

Re: Recta en R^2 ; plano en R^3

El plano $x+y=1$no descansa en el plano $xy$, el plano $x+y =1$ y el plano $xy$ ($z=0$) se intersectan en la linea $x+y =1$, es mas puedes construir un numero infinito de lineas paralelas $\forall z \in R$ que sean $x+y = 1$

Piensa que es como un edificio que trazas la linea $x+y=1$para cada apartamento en el piso. Luego lo haces continuo e infinito para que llene el plano.

saludos

[skinner]

Re: Recta en R^2 ; plano en R^3

Bueno, no entendí bien la comparación con el edificio... y tampoco entendí por qué el plano x+y=1 y el plano xy intersectan en la linea x+y=1, y tampoco sé si esta linea intersección es la que se representa en R^2... jejeje

¿Me aclaráis las dudas?

Un saludo!

[andrewcraig]

Re: Recta en R^2 ; plano en R^3

Hola,

En R2 tienes la recta que mencionas, y cuando pasas a R3 se introduce una nueva variable que no interviene en la ecuación, esa recta imagina que se desplaza en la dirección del eje z y forma un plano. z es una variable que es libre y valga lo que valga la ecuación se seguirá cumpliendo mientras x e y cumplan esa relación.

El plano xy es un plano perpendicular al eje z y que corta al eje z en z=0 (en mis representaciones suele ser el suelo de una habitación) Y el plano x+y=1 no es más que la recta en R2 pintada en el suelo, la cual empezaría a crecer hacia arriba en R3 formando un plano.

Saludos y imaginación..
PD: Skinner... ¿Seymour?

[Jose D. Escobedo]

Re: Recta en R^2 ; plano en R^3

Si no te gusto lo del edificio, trataremos con sandwiches, primero pillate unos panes de superficie cuadrada, luego pon coordenadas en las esquinas (0,0), (1,0), (0,1) y (1,1) luego trazas una linea recta de (1,0) a (0,1) ( que simboliza una parte de la linea x+y=1) como con tres panes es suficiente (recuerda hacer lo mismo para los tres. Luego coloca el primer pan sobre la mesa (de cocinar ) ponle lo que te guste como jamon, cebolla y tomates en rebanadas, despues coloca el otro pan y sobre de el salami o atun o lo que te guste y pon el ultimo pan en la parte de arriba. Finalmente coje el cuchillo y cortalo sobre la linea mencionada, con lo cual se formaran dos prismas triangulares. En medio de los dos panes en la parte cortada que antes los unia desliza verticalmente una hoja de papel que significa el plano que buscas con tanta desesperacion

saludos y hasta luego porque me ha dado apetito despues de este mensaje.

[skinner]

Re: Recta en R^2 ; plano en R^3

Gracias a los dos, ahora me hice una idea general, con matemática pura de sandwiches, bocadillos y suelos, jjajaja

En serio, me sirvió para commprenderlo y hacerme un esquema mental.

Y si, andrewcraig, soy Seymour Skinner, el mismo

Un saludito!!

[pod]

Re: Recta en R^2 ; plano en R^3

En general, una ecuación siempre elimina un grado de libertad (como se debe cumplir la ecuación, una de las variables queda determinada y no la puedes cambiar a voluntad). Así que cada ecuación reduce una dimensión. Si estás en dos dimensiones, una ecuación te da una recta (2 - 1 = 1). Si estás en tres dimensiones, te da un plano (3 - 1 = 2). Si estás en 47 dimensiones, una ecuación definirá una sub-variedad lineal de 46 dimensiones.

Es decir, con una sola ecuación, siempre obtienes algo con una dimensión menos. Si quieres algo que tenga dimensión menor, necesitas más ecuaciones (independientes). Por ejemplo, si estás en dimensión 47 y quieres definir una recta, necesitarás 46 ecuaciones (independientes). Y eso se puede pensar como la intersección de 46 hiperplanos (de dimensión 46 cada uno). Igual que una recta se puede definir como la intersección de dos planos en 3D.