1r ciclo Cómo parametrizar la curva interseccion de dos cuádricas?

[skinner]

Buenas, en mis apuntes no me dicen cómo parametrizar una curva intersección de por ejemplo, digamos un hemisferio esférico con un cilindro. Sin embargo, he observado que para hacerlo, los apuntes sigue siempre el mismo patrón: proyecta la intersección sobre el plano OXY, y despejando un "z" ya tiene la curva parametrizada. Y aquí surge un problema, ¿cómo proyecto la curva sobre el plano OXY?

Un ejercicio dice:
"Esboza y parametriza la curva determinada por la intersección de las siguientes superficies:

El hemisferio esférico ${x}^{2 }+{y}^{2 }+{z}^{2 }=4, z \geqslant 0$, con el cilindro ${x}^{2 } +{(y-1)}^{2 }= 1$ "

Yo lo que hice fue: despejar ${x}^{2 }$ en la ecuación del cilindro, sustituir en la ecuación del hemisferio esférico, y obtuve una parábola de ecuación:

$${z}^{2 }=-2(y-2)$$

Suponiendo que mi resultado es correcto... es decir, suponiendo que la intersección sea una parábola... ¿cómo consigo proyectarla sobre el plano OXY? ¿Hago z=0? No entiendo...

Muchas gracias y un saludo.

[Metaleer]

Re: Cómo parametrizar la curva interseccion de dos cuádricas?

El asunto es el siguiente.

Como has comprobado, la proyección sobre el plano $YZ$ no es sino $z = +\sqrt{4 - 2y}$. La proyección sobre el plano $XY$ no es sino el propio cilindro ${x}^{2 } +{(y-1)}^{2 }= 1$. Para demostrar esto, sustituyes $z = +\sqrt{4 - 2y}$ en la ecuación de la semiesfera, y debes recuperar ${x}^{2 } +{(y-1)}^{2 }= 1$. De esta manera, una parametrización que puedes usar es la siguiente, apoyándose en coordenadas polares:

$x = \cos t$

$y = 1+ \sin t$

$z = +\sqrt{4 - 2 y} = + \sqrt{4 - 2(1+ \sin t)} = + \sqrt{2 - 2\sin t}$

donde $t \in [0, 2 \pi)$.

La representación gráfica de esta curva parametrizada de esta manera es lo que se conoce como curva de Viviani, y tiene un aspecto tal que

Saludos.

[natanael]

Re: Cómo parametrizar la curva interseccion de dos cuádricas?

Hola Metaleer, disculpa mi intrusion, era para ver, cuando tengas tiempo libre si pudieras explicar como llegaste a esa pametrizacion, o en donde pudiera conseguir informacion acerca de esta en específica . Es que no lo veo facilmente.

Gracias.

[Metaleer]

Re: Cómo parametrizar la curva interseccion de dos cuádricas?

La razón de ser de esa parametrización es la proyección de la curva resultante sobre el plano $XY$, que viene a coincidir con la ecuación cartesiana del cilindro (es lógico si lo piensas - si miras desde arriba, lo que ves es el cilindro), que es $x^2 + (y-1)^2 = 1$. Ahora bien, esto es precisamente una circunferencia centrada en el punto $(0, 1)$ del plano $XY$, de radio $1$. Por tanto, la parametrización para $x$ e $y$ será $x = \cos t$, $y = 1 + \sin t$. Fíjate que al sustituir esta parametrización en $x^2 + (y-1)^2 = 1$, debido a identidad trigonométrica $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, se cumple que $1 = 1$, luego esa parametrización sirve para las componentes $x$ e $y$. Pero viendo la curva de intersección entre las dos superficies, tenemos la relación entre $z$ e $y$: $z = +\sqrt{4 - 2y}$, pero es que $y$ ya lo tienes en función del parámetro $t$, por tanto, sustituyendo, la componente $z$ de la parametrización queda $z = +\sqrt{2 - 2 \sin t}$.

Por tanto, la parametrización buscada la podemos plasmar en la siguiente función vectorial:

$$\mathbf{f}(t) = \cos t~ \boldsymbol i + (1 + \sin t)~\boldsymbol j + \sqrt{2 - 2 \sin t}~\boldsymbol k$$

donde el dominio de la función es $[0, 2 \pi)$.

Para que se vea más claro, he aquí una representación gráfica del cilindro, la esfera y la curva (en amarillo):

Saludos.

[nacho_loco]

Re: Cómo parametrizar la curva interseccion de dos cuádricas?

Hola he visto este tema y me ha ayudado mucho, pero tengo una duda, si tuviese que calcular el flujo de F , siendo F un campo vectorial, a traves de esta superficie interseccion, es decir la parte de la esfera interior al cilindro, como se haria?? ¿se podria hacer por el Teorema de Stokes a traves de la curva? ¿o eso no es posible en este caso? me seria de gran ayuda que me ayuden a resolver esta duda.
Gracias!

[Metaleer]

Re: Cómo parametrizar la curva interseccion de dos cuádricas?

Hola he visto este tema y me ha ayudado mucho, pero tengo una duda, si tuviese que calcular el flujo de F , siendo F un campo vectorial, a traves de esta superficie interseccion, es decir la parte de la esfera interior al cilindro, como se haria?? ¿se podria hacer por el Teorema de Stokes a traves de la curva? ¿o eso no es posible en este caso? me seria de gran ayuda que me ayuden a resolver esta duda.
Gracias!

El Teorema de Stokes te permite calcular el flujo del rotacional de un campo vectorial, no del propio campo vectorial.

Saludos.

[nacho_loco]

Re: Cómo parametrizar la curva interseccion de dos cuádricas?

Entonces, ¿como podria hacerlo?

[Metaleer]

Re: Cómo parametrizar la curva interseccion de dos cuádricas?

Pues no sé, como se suele calcular un flujo de forma normal, o de forma indirecta usando el Teorema de Gauss-Ostrogradsky, cerrando por algún lado y haciendo la resta... es que si no pones el campo en cuestión y la duda concreta, no sé muy bien cómo contestarte porque no sé qué duda tienes, exactamente. Te puede resultar útil este hilo.

Si sigues teniendo dudas, te recomiendo que abras otro hilo en el subforo correspondiente; este hilo es de otra temática.

Saludos.