Secundaria Problema de grifos (ecuaciones)

[angel relativamente]

Hola amigos. Hoy haciendo mis deberes de matemáticas me encontré con el siguiente problema:

Dos grifos llenan un depósito de 1500 litros en una hora y doce minutos. Manando por separado, el primero tardaría una hora más que en el segundo. ¿Cuánto tardaría en llenar el depósito cada grifo por separado?

Bueno, en primer lugar:

x=tiempo que tarda el primer grifo en llenar el depósito
y=tiempo que tarda el segundo grifo en llenar el depósito

La primera ecuación que he planteado es esta:

$$x=y+1$$

El problema viene con la segunda. ¿Cómo relacionar el tiempo que tarda por separado uno con el tiempo que tarda por separado el otro para llegar al tiempo que tardan los dos a la vez?

Bueno pues después de tantear y romperme la cabeza he llegado a plantear la 2ª ecuación:

$$\dst \frac{xy}{x+y} = \frac65$$

(siendo 6/5 1 hora y 12 minutos pasado a horas)



Para plantear la 2ª ecuación he probado con grifos que tarden el mismo tiempo por separado. Por ejemplo, dos grifos que tarden cada uno 1 hora en llenar un depósito tardarán media hora en llenarlo a la vez:

$\dst \frac{1\cdot 1}{1+1}=\frac12$

Y dos grifos que tarden 4 horas cada uno tardarán 2 horas:

$\dst \frac{4 \cdot 4}{4+4}=2$

A partir de ahí he generalizado la formula.

Pero teniendo en cuenta que he tardado unos 20 minutos hasta verla, si me sale un ejercicio en un examen podría perder demasiado tiempo. ¿Podrían explicarme si hay algún método para llegar a ese tipo de fórmulas de forma rápida?


PD: La solución me ha dado 2 y 3

Muchas gracias

[Al2000]

Re: Problema de grifos (ecuaciones)

Mi solución concuerda con la tuya, si quisiste decir que tu resultado fue 3 y 2 horas. Mi planteamiento fue

$\dst V = (q_1+q_2) t = q_1 t_1 = q_2 t_2\,,\quad t_1 = t_2 + 1\,\mathrm{hr}$

que te lleva al sistema $\dst <br /> \left \{\begin{aligned}<br /> \frac 1 {t_1} + \frac 1 {t_2} &= \frac 1 t \\<br /> t_1 -t_2 &= 1 <br /> \end{aligned}\right .<br />$

cuya solución ya la sabemos.

Saludos,

Al

[angel relativamente]

Re: Problema de grifos (ecuaciones)

Parece que ambos planteamos el mismo sistema por eso nos da igual:

$$\dst <br /> \left \{\begin{aligned}<br /> \frac {t_1\cdot t_2}{t_1+t_2} &= t\\<br /> t_1 -t_2 &= 1 <br /> \end{aligned}\right .$$

$\dst V = (q_1+q_2) t = q_1 t_1 = q_2 t_2$

Lo que no entiendo muy bien es este planteamiento.¿Cómo a partir de esos datos llegas a la fórmula?

Saludos y muchas gracias

[Al2000]

Re: Problema de grifos (ecuaciones)

Supongo que todo lo hace la experiencia... uno plantea las relaciones en función de los datos que le dan y lleva las cosas hasta sus últimas consecuencias Entonces si llamas $q_1$ y $q_2$ los caudales de cada grifo, puedes escribir que

$\dst V = (q_1+q_2) t = q_1 t_1 = q_2 t_2 \quad \Rightarrow \quad q_1 + q_2 = \frac V t \quad \Rightarrow \quad \frac V {t_1} + \frac V {t_2} = \frac V t \quad \Rightarrow \quad \frac 1 {t_1} + \frac 1 {t_2} = \frac 1 t$

Saludos,

Al

PD. Avísame cuando veas corriente eléctrica para proponerte un problema similar.

[angel relativamente]

Re: Problema de grifos (ecuaciones)

Muchas gracias ya vi de donde sale

Saludos!

PD: Lo haré