Otras carreras Planteo sobre vectores que no puedo demostrar

[Jakost]

Hola a todos, como les va?, espero que bien

Bueno voy a mi problema.

Hoy me hice un planteo cuando estaba repasando vectores y creo que es falso pero no puedo demostrarlo.

Sabemos que si

$$\vec{a} // \vec{b} \Rightarrow \vec{a} = \alpha . \vec{b}$$

La demostración seria que los versores asociados a cada vector son iguales por lo tanto podemos decir que:

$$\vec{a_0} = \vec{b_0}$$

$$\frac{1}{ \left\vert{} \vec{a} \right\vert{} } . \vec{a} = \frac{1}{\left\vert{} \vec{b} \right\vert{} } . \vec{b}$$

$$\vec{a} = \frac{\left\vert{} \vec{a} \right\vert{} }{ \left\vert{} \vec{b} \right\vert{} } . \vec{b}$$

$$\vec{a} = \alpha . \vec{b}$$

Acalracion: Esas barras en los vectores son sus modulos, no sabia como ponerlo y eran las barras mas parecidas

Ahora mi pregunta reside en que si $\alpha$ es un numero irracional como por ejemplo $\pi$ me quedaría que $\vec{a} = \pi . \vec{b}$ y como es irracional y tiene infinitas cifras decimales, $\vec{a}$ seria un vector infinitamente decimal, lo cual me parece que es un absurdo, pero no puedo demostrar matemáticamente el por qué.

Saludos!

Jakost

[aLFRe]

Re: Planteo sobre vectores que no puedo demostrar

Hola a todos, como les va?, espero que bien

Hola.
A mí muy bien todo, eres muy amable... espero que a ti todo te vaya bien.

Ahora mi pregunta reside en que si $\alpha$ es un numero irracional como por ejemplo $\pi$ me quedaría que $\vec{a} = \pi . \vec{b}$ y como es irracional y tiene infinitas cifras decimales, $\vec{a}$ seria un vector infinitamente decimal, lo cual me parece que es un absurdo, pero no puedo demostrar matemáticamente el por qué.

El conjunto de los números racionales Q con dos leyes de composición interna:
suma y producto
y verificando la "propiedad distributiva" tiene una estructura de cuerpo conmutativo.

Hay que tener en cuenta dos cosas :

1. Hay operaciones, por ejemplo la raiz cuadrada que a veces no dan como resultado un número racional.

2. Hay ecuaciones - trascendentes - cuya solución son números que no son racionales
( para obtener una solución hay que iterar : obtener un resultado parcial, introducirlo en la ecuación y volver a obtener un resultado )

A estos números que salen de esta forma y no se pueden expresar como cociente de enteros
se les llama irracionales y el conjunto de los números reales los contiene.

Como bien indicas un número irracional no se puede expresar como una fracción de números enteros
Pero esto no es importante.. ¿ por qué ?
Pues porque un espacio vectorial requiere dos conjuntos :
* V - un conjunto dotado de una ley de composición interna que cumple una serie de propiedades -
* Un conjunto K -que tiene una estructura llamada cuerpo -
y una ley de composición externa k x V -> V que verifica una serie de propiedades.

El espacio vectorial habitual se construye sobre R
el cuerpo de los números reales no sobre el de los racionales - ojo, se puede construir sobre otros -
Es por tanto un R-espacio vectorial.

Por ejemplo ¿ cuál es el módulo del vector suma $\widehat{i} + \widehat{j}$ ?

AÑADIDO : Lo demás que planteas son operaciones con números reales.

Habría que tener en cuenta dos cosas, además.

Una sería - igual me equivoco - que para tener un módulo para el vector tienes que tener definida una distancia
( por ejemplo mediante una tercera operación : el producto escalar ) o al menos una aplicación de V en K
y que hasta donde yo recuerdo el módulo es un número del mismo cuerpo K del espacio vectorial,
por eso tiene sentido aprovecharse del producto por escalar para hacer esa descomposicion:
$\vec{v}=|v|\widehat{u_v}$ siendo $|v|$ el módulo de $\vec{v}$
y $\widehat{u_v}$ el versor unitario en la dirección y sentido de $\vec{v}$

Y la segunda sería ver cómo se obtiene en concreto un vector de módulo $\pi$
que no sea definiendolo diréctamente - no habría ningún problema en un R-espacio vectorial -
o como el límite de algo.

Saludos!

Un saludo.

[Jakost]

Re: Planteo sobre vectores que no puedo demostrar

Gracias Al por responder.

Lo que tu dices lo entiendo bastante bien (o eso creo), pero aun no me queda claro si es posible que exista un vector $\vec{a} = \pi . \vec{b}$, ya que como exprese antes creo q es absurdo decir que tenemos un vector con infinitas cifras decimales.

Quisiera ver alguna demostración que utilizara el $\pi$ para mostrar la existencia o no del vector $\vec{a} = \pi . \vec{b}$ y ¿por qué?

Con respecto a la suma que me planteas:

$\left\vert{} \hat{\imath} + \hat{\jmath} \right\vert{} = \sqrt{2}$

Ya que el vector $\left\vert{} \hat{\imath} + \hat{\jmath} \right\vert{}$ tiene componentes (1;1)

Creo que ya se por donde quieres encarar el tema pero aun no logro entenderlo del todo, si me lo puedes aclarar un poco mas, te estaría agradecido

Gracias y saludos!

[_L_]

Re: Planteo sobre vectores que no puedo demostrar

no entiendo que es lo que te extraña de que un vector tenga un modulo irracional o que sus componentes lo sean...

Los numeros son asi , en mates nos artamos de usar tambien el numero e y su logaritmo neperiano cuando la funcion del logaritmo es una suma infinita tambien. Son las cosas de las mates

[aLFRe]

Re: Planteo sobre vectores que no puedo demostrar

Lo que tu dices lo entiendo bastante bien (o eso creo), pero aun no me queda claro si es posible que exista un vector $\vec{a} = \pi . \vec{b}$, ya que como exprese antes creo q es absurdo decir que tenemos un vector con infinitas cifras decimales.

Quisiera ver alguna demostración que utilizara el $\pi$ para mostrar la existencia o no del vector $\vec{a} = \pi . \vec{b}$ y ¿por qué?

En este aspecto, tu pregunta es muy interesante, por eso volví a postear por la tarde.

Cualquier número irrracional no se puede obtener a partir de operaciones : suma, resta, multiplicación o división con enteros.
( los números racionales son en definitiva un cociente entre enteros )

Pero ese vector que comentas es correcto porque el espacio vectorial con el que se trabaja en los primeros cursos
de Física se construye sobre el cuerpo de los reales
y los números irracionales pertenecen al conjunto de los números reales.

El número $\pi$ como ya sabes sale al relacionar la longitud de una circunferencia y su diámetro:
- yo diría que la longitud de una circunferencia se podría obtener
construyendo un parelelogramo : el punto de aplicación del primer vector coincida con el extremo del último
y tomando el límite de número de lados $N \to \infty$ , - infinito número de vectores -
y calculando el perímetro de eso
sería una suma de modulos de vectores infinitesimales, pero no estoy seguro -
y también como resultado de otra serie de ecuaciones.

Lo que me planteas no sé explicártelo de otra forma, tendría que pensarlo, mirarlo en casa con los textos
y si puedo ampliaré esto aquí o en el blog.

Con respecto a la suma que me planteas:

$\left\vert{} \hat{\imath} + \hat{\jmath} \right\vert{} = \sqrt{2}$

Ya que el vector $\left\vert{} \hat{\imath} + \hat{\jmath} \right\vert{}$ tiene componentes (1;1)

El número raiz de 2 es también un número irracional.
No se puede expresar como cociente de enteros o en notación decimal con un número finito de cifras.
Luego tendrías el mismo problema... pero este caso no te llama la atención.

Saludos y felicidades, sigue pensando.

[pod]

Re: Planteo sobre vectores que no puedo demostrar

Un vector no tiene decimales, porque no es un número.

Las componentes de un vector sí son números, y en general son reales, así que pueden tener infinitos decimales. No hay absolutamente ningún problema con ello.

De hecho, la forma de llamar al conjunto de todos los vectores de dos dimensiones es $\mathbb R^2$. Es decir, "reales al cuadrado". O lo que es lo mismo, un par ordenado de dos números reales (las componentes). Y como son reales, en particular pueden ser irracionales.

$\vec a = \pi \vec b$ es algo perfectamente legal.

[aLFRe]

Re: Planteo sobre vectores que no puedo demostrar

Desde hace algún tiempo vengo pensando que para mí
lo mejor es resolver una cuestión al día de forma exacta
porque haciéndolo de forma apresurada luego hay tengo que volver sobre el asunto una y otra vez.

Ahora mi pregunta reside en que si $\alpha$ es un numero irracional como por ejemplo $\pi$ me quedaría que $\vec{a} = \pi . \vec{b}$ y como es irracional y tiene infinitas cifras decimales, $\vec{a}$ seria un vector infinitamente decimal, lo cual me parece que es un absurdo, pero no puedo demostrar matemáticamente el por qué.

En primer lugar partimos de dos conjuntos : el de los números naturales $\mathbb N$.
y el de los enteros $\mathbb Z$.
Imagina ahora que tomas un número entero $a \in \mathbb Z$
y construyes el cociente $\frac{a}{10}$
tienes un conjunto $\mathbb{D}_1$
En general puedes tomar $b \in \mathbb Z$ y construir $\frac{b}{10^n}$
con $n \in \mathbb N$ y tendrías un conjunto $\mathbb{D}_n$

Si defines una relación de equivalencia r
$\frac{a}{10} r \frac{b}{10^n}$ cuando $a\,10^n = b\,10$
un número decimal sería cada una de las clases de equivalencia
y $\frac{D_n}{r}$ el conjunto cociente
siendo, por tanto,el conjunto de los números decimales [tex]$\mathbb D =\cup_{n \ge 0}\frac{\mathbb{D}_n}{r}$

Ese conjunto de números decimales con las dos leyes de composición interna : suma y producto
tiene una estructura de ANILLO puesto que respecto del producto
es un SEMIGRUPO ABELIANO
( en principio cualquier número decimal no tiene porque tener elemento inverso respecto del producto )

Como ya dije al principio un espacio vectorial requiere dos conjuntos $\mathbb V$ y $\mathbb K$
y $\mathbb K$ debe de ser un CUERPO...
por lo cual se podrá construir lo que sea usando como escalares sólo al conjunto $\mathbb D$ pero no un espacio vectorial.

$\mathbb Q$ es el conjunto de los números racionales.
Un número racional es un cociente entre enteros, esto es
$a \in \mathbb Z$ y $b \in \mathbb Z$ $\frac{a}{b} \in \mathbb Q$
No hay que confundir los dos conjuntos porque $\mathbb Q$
respecto de la suma y el producto - dos leyes de composición interna - tiene estructura de CUERPO.
¿ Se podría construir un espacio vectorial sobre $\mathbb Q$ ?
Pues en principio no habría ningún problema...

$\mathbb Q$, además, tiene una propiedad muy interesante y es que es denso.
Esto es... dado dos números racionales
$p \in \mathbb Q$ y $q \in \mathbb Q$ siempre hay un número racional entre p y q
sin embargo no es contínuo.

Luego... ¿ por qué se define el espacio vectorial ese que aparece en los primeros cursos de Física
sobre $\mathbb R$, el conjunto de lo números reales ?
Pues porque $\mathbb R$, además de ser un CUERPO, de ser denso, es contínuo...
Cuando uno empieza a plantearse problemas de Geometría resulta que encuentra
que sería interesante poner en correspondencia a los puntos de la recta con números.
$\mathbb Q$ llena la recta de forma densa pero no contínua.
$\mathbb R$llena la recta de forma densa y contínua.

Hoy me hice un planteo cuando estaba repasando vectores y creo que es falso pero no puedo demostrarlo.

Sabemos que si

$$\vec{a} // \vec{b} \Rightarrow \vec{a} = \alpha . \vec{b}$$

La demostración seria que los versores asociados a cada vector son iguales por lo tanto podemos decir que:

$$\vec{a_0} = \vec{b_0}$$

$$\frac{1}{ \left\vert{} \vec{a} \right\vert{} } . \vec{a} = \frac{1}{\left\vert{} \vec{b} \right\vert{} } . \vec{b}$$

$$\vec{a} = \frac{\left\vert{} \vec{a} \right\vert{} }{ \left\vert{} \vec{b} \right\vert{} } . \vec{b}$$

$$\vec{a} = \alpha . \vec{b}$$

Acalracion: Esas barras en los vectores son sus modulos, no sabia como ponerlo y eran las barras mas parecidas

Para concluir las operaciones que indicas tienen lugar entre números reales
que es sobre el CUERPO sobre el cual está construido el espacio vectorial que se presenta a principios de curso
y no hay ningún problema.

Para construir ese vector $\pi\widehat{u}$
si $\widehat{u}$ es un versor - vector unitario -
pues sólo tendrías que sumar infinitos términos,
por ejemplo usando las propiedades del producto por escalar :
$\pi\widehat{u}= 3 \widehat{u} + 0,1 \widehat{u}+0,04 \widehat{u}+...$

Saludos.

[Jakost]

Re: Planteo sobre vectores que no puedo demostrar

Gracias a todos los que respondieron, creo haber entendido