1r ciclo inducción matemática, orientación con un problema: demostrar que toda cantidad ≥5000, multiplo de 5 puede ser ....

[javier m]

Demuestre que cualquier suma de dinero múltiplo entero de $1000, mayor o igual a $5000, puede ser descompuesta en billetes múltiplos de $5000 y $2000

bueno, lo que hice fue esto

todo numero $C$ puede ser descompuesto en $A$ y en $B$ cantidades.

de modo que $C=A+B$, ahora, el enunciado dice que C es multiplo entero de 1000, así que $C/1000=z($1), siendo $z\in \mathbb{Z}$, lo mismo con A y B

$$A/2000=x$$

$$B/5000=y$$

siendo $x$ y $y$ pertenecientes a los enteros.

de modo que

$C=A+B$

reemplazo (1), (2) y (3)

$1000z=2000x+5000y$

simplifico.

$z=2x+5y$

y hasta ahí llegué, porque no se con cual ($x,y$ o $z$) debo demostrar eso. no se que mas debo hacer.

[lindtaylor]

Re: inducción matemática, orientación con un problema: demostrar que toda cantidad ≥5000, multiplo de 5 puede ser ....

Inducción sobre $z$:

$\alpha (1):$

$1=2(-2)+5(1)$ ssi $V$. (En realidad se debió partir de $n=5$, pero como vale para todo $n$ se tiene lo mismo)

$\alpha (n)$ válido.

$n=2x_0+5y_0$

$n+1=2x_0+5y_0+1$

$n+1=2(x_0-2)+5(y_0+1)$

$(x_0-2),\ (y_0+1) \in \mathbb {Z}$

$\therefore \alpha(n+1)$

$\therefore \forall z \in \mathbb {N}\ z=2x+5y.$

Ojalá este bien D: aunque creo que falta un detalle (que $x_0-2$, $y_0+1$ estén en los naturales unión . mañana lo analizaré mejor, me dió sueño .

[javier m]

Re: inducción matemática, orientación con un problema: demostrar que toda cantidad ≥5000, multiplo de 5 puede ser ....

$1=2(-2)+5(1)$ ssi $V$. (En realidad se debió partir de $n=5$, pero como vale para todo $n$ se tiene lo mismo)

creo que me equivoqué al colocar $\in \mathbb{Z}$, debió ser $\in \mathbb{N}$ (incluyendo el 0) porque no hay ningun billete de -$2000 .

así que sí, debiste empezar con el 5.

[pod]

Re: inducción matemática, orientación con un problema: demostrar que toda cantidad ≥5000, multiplo de 5 puede ser ....

hay otra posibilidad, siguiendo la notación de lind

$$\alpha(n+1) \longrightarrow 1+2x_0 + 5y_0 = 2(x_0-2) + 5 (y_0+1) = 2 (x_0 + 3) + 5 (y_0 - 1) .$$

La primera posibilidad se puede usar si $x_0 \ge 2$. La segunda posibilidad se puede usar si $y_0 \ge 1$. Faltaría demostrar que $\alpha(n)$ implica que siempre se cumple al menos de una de estas condiciones.

Veámoslo un poco. $n = 2 x_0 + 5 y_0$, con $n \ge 5$. Si n es par, obviamente podemos coger $y_0 = 0$ y $x_0 = n/2 \ge 2$, con lo que no habría problema (nos sirve la primera opción).

Si n es impar, siempre podemos restarle cinco y obtenemos un número impar. Por lo tanto $y_0 = 1$ y $x_0 = (n-5)/2$. Por lo tanto, nos sirve la segunda opción.