Otras carreras Ayuda ejercicio de vectores, planos y rectas

[DaviaZ]

Hola! Me gustarìa pedirle a algun alma caritativa se digne a fijar sus ojos en este ejercicio y asì aconsejarme

Tengo parcial de matematica el lunes y tengo el siguiente ejercicio:

Hallar el vector perpendicular a la recta l: x=-1+t ; y=2-t; z=3t con el $\vec{u}$=(0;-2;5), cuyo modulo sea 30.

b) Hallar el punto de intersecciòn de la recta l con el plano normal a $\vec{u}$ que pasa por el origen de coordenadas.

Quisiera saber si interpreto bien sobre todo el primer punto.

Me piden un vector perpendicular tanto a l como a u ?
Si fuera ese caso he planteado un producto vectorial entre esos dos vectores, luego sacar el vector unitario y multiplicarlo por 30.

Para el punto b he pensado en expresar el plano de la siguiente manera:

(x-0;y-0;z-0)(0;-2;5)= 0 al cual en cada una de sus variables la reemplaze por la x,y,z de la recta quedandome al final un valor de t, el cual al reemplazarlo en la recta me da el punto de intersecciòn. Espero me puedan corregir.

Muchas gracias~~

[guibix]

Re: Ayuda ejercicio de vectores, planos y rectas

Buenas,

La a creo que es correcto tu planteamiento sólo debes tener en cuenta que la recta l está en forma paramétrica y debes buscar una forma vectorial para poder hacer el producto vectorial.

No acabo de entender tu planteamiento en el b, lo cual no quiere decir que no sea correcto, solo que no sé más.

Me limito a decir como lo haría yo:

Por como lo dice, el plano en el que buscas el punto pasa por (0,0,0) y $\vec{u}$ es su vector normal, si planteas la recta l en forma de ecuación y el plano en dos ecuaciones, te quedará un sistema de tres ecuaciones lineales y tres incógnitas (eso lo resolvería con matrices), además la variable t desaparece al pasar la recata de paramétrica a ecuación o a vector.

Saludos.

[DaviaZ]

Re: Ayuda ejercicio de vectores, planos y rectas

Hola guibix gracias por tu atención. Igual al parecer vos me decís que mi recta l la puedo pasar a una ecuación en donde t desaparecería? Como lo haces? En R3 conozco el pasaje a simetrica y vectorial, todas con la constante t incluidas.

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Re: Ayuda ejercicio de vectores, planos y rectas

Hola DaviaZ,

Otra razonamiento que creo que se puede seguir para realizar este ejercicio (aparte del expuesto por guibix, que le dejo a él si quiero exponer el desarrollo de su solución) es el siguiente. Te dicen:

b) Hallar el punto de intersecciòn de la recta l con el plano normal a que pasa por el origen de coordenadas.

Yo me imagino una situación así, más o menos:



Pues bien, el plano $\pi$ tendrá como ecuación genera:

$\pi\equiv Ax+By+Cz+D=0$

Pero te dicen que es normal al vector $\vec u$, o sea, podemos decir que el vector normal al plano $\pi$ es el vector $\vec u$. Por tanto, podemos sustituir en la ecuación general los valores de $A,B,C$ quedando:

$\pi\equiv -2y+5z+D=0$

Además, te dicen que el plano pasa por el origen de coordenadas, luego dicho punto debe verificar la ecuación del plano. De este modo calculamos $D$ y consecuentemente la ecuación general del plano:

$-2\cdot 0 +5\cdot 0 +D=0 \Rightarrow D=0$

$\pi\equiv -2y+5z=0$

Ahora que tenemos la ecuación del plano podemos calcular el punto de intersección ($A$) del plano y la recta. La recta la tenemos en forma paramétrica:

$l \equiv<br /> \left\{<br /> \begin{array}{cl}<br /> x & =-1+t \\<br /> y & =2-t \\<br /> z& = 3t \\<br /> \end{array}<br /> \right.$

El punto de intersección pertenece tanto a la recta como al plano, luego tendrá la forma:

$A(-1+t,2-t,3t)$

Además, como también pertence al plano, lógicamente ha de verificar su ecuación:

$-2(2-t)+5\cdot 3t=0 \Rightarrow -4+2t+15t=0\Rightarrow \boxed{t=\dst\frac{4}{17}}$

Con este valor, ya puedes sustituir en la ecuación de la recta para obtener el punto, que sería:

$\boxed{A=\left(-1+\dst\frac{4}{17},2-\dst\frac{4}{17},\dst\frac{12}{17}\right)}$

Así lo obtienes de una manera más sencilla,creo yo, que resolver sistemas de ecuaciones con tres incógnitas mediante el uso de matrices. Es el método que creo que propusiste en el primer post, pero con lo que se conoce como ecuación normal del plano, ¿verdad?

Saludos y revisa los cálculos que lo he hecho de forma bastante descuidada,

[Cat_in_a_box]

Re: Ayuda ejercicio de vectores, planos y rectas

Por cierto:

La a creo que es correcto tu planteamiento sólo debes tener en cuenta que la recta l está en forma paramétrica y debes buscar una forma vectorial para poder hacer el producto vectorial.

¿No daría igual dejarla en forma paramétrica? Creo que sólo necesitas el vector director de la recta, que en este caso sería $\vec v_l=(1,-1,3)$, así que no haría falta expresarla en primer lugar en forma vectorial, ¿no crees?

Saludos,

[pilimafiqui]

Re: Ayuda ejercicio de vectores, planos y rectas

Hola DaviaZ
El a) esta bien segun lo haces tu.
El b) segun te lo hizo Cat.. es la forma mas sencillo para mi