1r ciclo Factores de escala del Rotacional

[idontknow]

Hola,

hace un tiempo que di esto y no recuerdo bien cómo iba. Cuando haces un rotacional en sistema que no es x,y,z y te aparecen factores de escala diferentes a 1, al hacer el determinante del rotacional, ¿cuándo se incluía el factor de escala dentro de la derivada parcial? ¿Se excluían siempre de la derivada o había alguno que sí que le afectaba?

Gracias

[arreldepi]

Re: Factores de escala del Rotacional

Hola, me acuerdo que cuando empecé los ponía dentro y me salía mal el rotacional xD. Una amiga me dijo un truco para poder calcularlo sin problemas usando las propiedades de los determinantes, por ejemplo, en esféricas:

$$\vec\nabla\times\vec f = \frac{1}{r^2\sin\theta}\begin{vmatrix}\hat r & r\hat\theta & r\sin\theta\hat\phi \\ \partial/\partial r & \partial/\partial\theta & \partial/\partial\phi \\ f_r&rf_\theta & r\sin\theta f_\phi\end{vmatrix}=$$

$$=\hat r \begin{vmatrix}\partial/\partial \theta & \partial/\partial\phi \\ r f_\theta & r\sin\theta f_\phi \end{vmatrix} + r\hat \theta \begin{vmatrix}\partial/\partial r & \partial/\partial\phi \\ f_r & r\sin\theta f_\phi \end{vmatrix} + r\sin\theta\hat \phi \begin{vmatrix}\partial/\partial r& \partial/\partial\theta \\ f_r & r f_\theta \end{vmatrix}$$

$$\begin{aligned}&=\left(\frac{\partial}{\partial\theta}(r\sin\theta f_\phi)-\frac{\partial}{\partial\phi}(rf_\theta)\right)\hat r-r\left(\frac{\partial}{\partial r} (r\sin\theta f_\phi)-\frac{\partial}{\partial\phi}(f_r)\right)\hat\theta+\\&+r\sin\theta\left(\frac{\partial}{\partial r}(r f_\theta)-\frac{\partial}{\partial\theta}(f_r)\right)\hat\phi\end{aligned}$$

Saludos!

[idontknow]

Re: Factores de escala del Rotacional

Luego no te vayas a dejar el prefactor de todo el determinante en un examen eh? Gracias

[Al2000]

Re: Factores de escala del Rotacional

...

$$\vec\nabla\times\vec f = \begin{vmatrix}\hat r & r\hat\theta & r\sin\theta\hat\phi \\ \partial/\partial r & \partial/\partial\theta & \partial/\partial\phi \\ f_r&rf_\theta & r\sin\theta f_\phi\end{vmatrix}=$$

$$=\hat r \begin{vmatrix}\partial/\partial \theta & \partial/\partial\phi \\ r f_\theta & r\sin\theta f_\phi \end{vmatrix} + r\hat \theta \begin{vmatrix}\partial/\partial r & \partial/\partial\phi \\ f_r & r\sin\theta f_\phi \end{vmatrix} + r\sin\theta\hat \phi \begin{vmatrix}\partial/\partial r& \partial/\partial\theta \\ f_r & r f_\theta \end{vmatrix}$$

$$=\left(\frac{\partial}{\partial\theta}(r\sin\theta f_\phi)-\frac{\partial}{\partial\phi}(rf_\theta)\right)\hat r+\left(\frac{\partial}{\partial r} (r\sin\theta f_\phi)-\frac{\partial}{\partial\phi}(f_r)\right)\hat\theta+\left(\frac{\partial}{\partial r}(r f_\theta)-\frac{\partial}{\partial\theta}(f_r)\right)\hat\phi$$

...

El signo del segundo menor en (2) debería ser negativo. ¿Qué pasó con los factores de escala en (3)?

Esa última expresión no es la que yo aprendí y no dimensionalmente consistente.

Saludos,

Al

PD. ¿Tal vez quisiste escribir $\dst \vec\nabla\times\vec f = \frac 1 {r^2 \sin \theta }\begin{vmatrix}\hat r & r\hat\theta & r\sin\theta\hat\phi \\ \partial/\partial r & \partial/\partial\theta & \partial/\partial\phi \\ f_r&rf_\theta & r\sin\theta f_\phi\end{vmatrix}$ ?

[arreldepi]

Re: Factores de escala del Rotacional

Sí, iba rápido y me olvidé el prefactor y el signo del segundo determinante xD. Es con r^2.
saludos!