Secundaria Demostrar una propiedad por inducción

[angel relativamente]

Hola compañeros de la web de física. Estaba ojeando mi libro de matemáticas del curso que viene (2º bachiller), y en un apartado de ampliación te explica el método de inducción completa. Este método lo entiendo, pero me surgió una duda al ponerme a resolver problemas. Dice así:

$$\text{Demuestra que} \quad n^3 - n\quad \text{es multiplo de}\; 6\quad \forall \;n\in \mathbb{N}$$

Bueno, lo primero es probarla para $n=1$ . Es curioso, pues si $n=1$ , entonces:

$$1^3-1=0$$

Y no tengo muy claro que 0 sea un múltiplo de 6, pues tenía entendido que un múltiplo de 6 se podía escribir como $6K \quad \forall\; K \; \in \mathbb{N}$, y 0 no pertenece a los naturales. Pero dejando de lado estos detalles, digamos que se cumpla para n=1. Ahora, suponiendo que se cumple para n, donde podemos generalizar que:

$$n^3 - n=6K \quad \forall \;n,K\in \mathbb{N}$$

vamos a demostrarlo para n+1. Esto es lo que he hecho:

$$\left( n+1 \right) ^3 - \left( n+1 \right)=\left( n+1 \right)\cdot \left[ \left( n+1 \right)^2 - 1 \right] = \left( n+1 \right)\cdot \left( n^2 +2n +1 -1 \right) =$$

$$=\left( n+1 \right)\cdot \left( n^2 +2n \right)=n\cdot \left( n+1 \right)\cdot\left( n+2 \right)=n\cdot \left( n^2+3n+2 \right) =$$

$$=n\cdot \left[ \left( n^2-1 \right) +\left( 3n+3 \right) \right]=\dst \underbrace {\left( n^3-n \right) }_{6K}+3n\cdot \left( n+1 \right)$$

Ahora no se cómo demostrar que $\dst \underbrace {\left( n^3-n \right) }_{6K}+3n\cdot \left( n+1 \right)$ es múltiplo de 6. ¿Alguien sabe qué he de hacer aquí para rematar el problema o qué no he debido de hacer en mi procedimiento?

Luego el libro me propone otros enunciados, tales como demostrar que $n^3+5n$ es múltiplo de 6 para todo n natural o demostrar que $6^{2n}-1$ es divisible entre 35 para cualquier valor de n natural. Supongo que si entiendo el primero, podré hacer (o intentar hacer) estos últimos. Espero que aclaren mis dudas
¡Un saludo!
Ángel

[javier m]

Re: Demostrar una propiedad por inducción

seré breve,

$n^3-n=6K$

$n^3=n+6K$

sumas: $3n^2+3n+1$. para obtener $(n+1)^3$

$n^3+3n^2+3n+1=3n^2+3n+1+n+6K$

$(n+1)^3=3n^2+3n+1+n+6K$

pasas el n+1, hacia la izquierda

$(n+1)^3-(n+1)=3n^2+3n+6K$

y por ultimo factorizas el 6

$(n+1)^3-(n+1)=6[\dfrac{n^2}{2}+\dfrac{n}{2}+K]$

entonces, habría que demostar que $\dfrac{n^2}{2}+\dfrac{n}{2}=\dfrac{n^2+n}{2}$ es un entero

aquí está ese ultimo http://forum.lawebdefisica.com/threa...ion+matematica

PD: bueno, puesto la notación del link es distinta, demuestro aquello ultimo

$\dfrac{n^2+n}{2}=P, P\in N$

$n^2=-n+2P$

sumo 2n+1
$n^2+2n+1=-n+2P+2n+1$

$(n+1)^2=-n+2P+2n+1$

sumo n+1

$(n+1)^2+(n+1)=2P+2n+2$

factor común

$(n+1)^2+(n+1)=2(P+n+1) \in N$

[angel relativamente]

Re: Demostrar una propiedad por inducción

Creo que no lo podías haber explicado mejor, ¡muchas gracias Javier eso era lo que necesitaba!

Aunque hay una cosa que veo mal, no se si me equivocaré, y es que empiezas la demostración al revés. Fíjate que tansponiendo términos y operando, llegas a que:

$$(n+1)^3-(n+1)=3n^2+3n+6K$$

Pero yo empezando directamente suponiéndolo para n+1 (que en eso se supone que se basa la inducción), llego a lo mismo:

$$\dst\left( n+1 \right) ^3 - \left( n+1 \right)=\cdots=\dst \underbrace {\left( n^3-n \right) }_{6K}+3n\cdot \left( n+1 \right)=3n^2+3n+6K$$

Luego, cuando intentas demostrar que: [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , haces lo mismo, lo supones así y vas transponiendo términos hasta que te queda demostrado para n+1. Yo directamente empezaría así:

$$\boxed{\dfrac{\left( n+1 \right)^2 + \left( n+1 \right) }{2}}=\dfrac{\left( n+1 \right)\cdot \left[ \left( n+1 \right)+1 \right] }{2}=\dfrac{\left( n+1 \right)\cdot \left( n+2 \right) }{2}=$$

$$= \dfrac{n^2+3n+2}{2}=\dfrac{\left( n^2+n \right)+\left( 2n+2 \right) }{2}=\dst \underbrace{\dfrac{n^2+n}{2}}_{P} + n +1 = P+n+1=\boxed{Q\in \mathbb{N}}$$

¡Un saludo!

PD: Se me ocurre otra cosa para demostrar $\dfrac{n^2+n}{2}=P, P\in \mathbb{N}$ :

$$\dfrac{n^2+n}{2}=P \quad \Rightarrow \quad n^2+n=2P \quad \Rightarrow \quad n\cdot (n+1)=2P$$

Sabemos que un número par lo podemos escribir de modo 2Q, siendo Q un número natural. Sabemos también que si multiplicamos un número cualquiera N (perteneciente a los naturales) por un par, el resultado siguie siendo par, puesto que:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Por tanto, como en $n\cdot (n+1)$ estamos multiplicando un número por su consecutivo, o bien n es par o bien n+1 es par, por lo que su producto ha de ser obligatoriamente par:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Aunque claro esto no es por inducción

PD2:¡Me han salido las otras demostraciones que proponía en el 1er mensaje!

[angel relativamente]

Re: Demostrar una propiedad por inducción

Otra nueva duda. No he querido abrir un hilo puesto que el tema es el mismo, demostrar una propiedad por inducción. Me pide que demuestre que:

$$\left( 1+2+\cdots + n \right)^2=1^3+2^3+\cdots +n^3$$

Bueno, lo 1º es comprobarla para n=1. Una vez hecho esto, lo suponemos para n y lo demostramos para n+1.

$\left[ \left( 1+2+\cdots+n \right) +\left( n+1 \right) \right]^2=\dst \underbrace{\left( 1+2+\cdots+n \right)^2}_{\dst1^3+2^3+\cdots +n^3}$ $+2\cdot \left( n+1 \right)\cdot\left( 1+2+\cdots+n \right)+(n+1)^2=$

$$=\left( 1^3+2^3+\cdots + n^3 \right) + \dst \underbrace{2\cdot \left( n+1 \right)\cdot\left( 1+2+\cdots+n \right)+(n+1)^2}_{\dst \left( n+1 \right)^3 }$$

Por lo que bastaría con demostrar que:

$$2\cdot \left( n+1 \right)\cdot\left( 1+2+\cdots+n \right)+(n+1)^2=\dst \left( n+1 \right)^3$$

A esa última expresión le he dado mil y una vueltas pero no consigo demostrarla. ¿Alguna ayuda?
¡Muchas gracias!

[Al2000]

Re: Demostrar una propiedad por inducción

Puedes usar la conocida propiedad (no se si la tendrías que demostrar) que $1+2+...+n = \frac 1 2 n (n+1)$.

Saludos,

Al

[angel relativamente]

Re: Demostrar una propiedad por inducción

Puedes usar la conocida propiedad (no se si la tendrías que demostrar) que $1+2+...+n = \frac 1 2 n (n+1)$

¡Pero cómo no he caído yo antes!

Muchas gracias Al, con eso ya está demostrado.

PD: Curiosamente tengo la demostración de esa propiedad en mi libro del curso pasado.

¡Un saludo!