1r ciclo Propiedad interesante de dos vectores

[skinner]

Hola, buenas noches. Necesito demostrar la siguiente propiedad que cumplen dos vectores multiplicando a una matriz, A:

$\left(A\vec{x} \right)\cdot \vec{y}=\vec{x} \cdot \left( A^{T}\vec{y} \right)$

Me gustaría saber cómo demostrar esto, pues a partir de aquí, se puede demostrar que, dada una matriz simétrica, los eigenvectores asociados a eigenvalores diferentes de A, son ortogonales entre sí.

Muchas gracias. De qué gran utilidad es este foro!

[skinner]

Re: Propiedad interesante de dos vectores

Por favor, sigo necesitando demostrar esta igualdad. Le he dado varias vueltas al asunto, pero a lo único a lo que he llegado es a que:

$\dst A\vec{x} =\vec{x}A^{T}$

Lo cual no estoy seguro de que sea cierto... más que nada porque $\vec{x}$ es un vector, y por tanto el producto no está definido en ambos sentidos. En todo caso el que debería llevar traspuesta es la x...

¿Alguien se anima? Es un ejercicio del libro Álgebra Lineal de Bernard Kolman y David R.Hill en su octava edición (más en concreto: página 444 Ejercicio teórico T1)

Un saludo. Gracias por vuestro tiempo!

[GNzcuber]

Re: Propiedad interesante de dos vectores

Hola skinner,

Y, los que no tenemos el libro ¿Cómo podemos ayudarte con dicha información? Por Google he visto lo siguiente, y $\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R}^n$, pero como son vistas parciales del libro justamente la página anterior (en este libro era la 433) no estaba disponible.

Por el tema he supuesto que $A\in M_n(\mathbb{R})$, pero los vectores anteriores ¿Son filas o columnas? No creo que se pueda decidir "libremente" como lo hicimos en otro post tuyo, porque aquel debía tener significado Físico.

¡Saludos!

[skinner]

Re: Propiedad interesante de dos vectores

GNzcuber, es indiferente el que tengas el libro o no, pues sólo te serviría para leer el enunciado, el cual voy a copiar aquí (no se diferencia mucho de lo que yo escribí):

T.1. Demuestre que si x e y son vectores en $R^n$, entonces $\left(A\vec{x} \right)\cdot \vec{y}=\vec{x} \cdot \left( A^{T}\vec{y} \right)$

No viene ni más ni menos. Antes de este ejercicio, el libro utiliza esta propiedad para resolver un ejemplo, pero no la demuestra (es más, te remite al ejercicio T.1. directamente).

Es decir, que no se puede resolver usando la información del tema.

¿Cómo puedo hacerlo?

Gracias

Salud!

[GNzcuber]

Re: Propiedad interesante de dos vectores

Me refería en el contexto, de la misma manera que he dicho que $A$ era cuadrada de dimensión $n$, si la notación que usan para [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] es la misma ([Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] ).

Porque por la cara puedo suponer que por simplificación [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] a conveniencia siempre y cuando tenga sentido la operación, y que además de $(A\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}'=\boldsymbol{x}'^t$, ya que el producto de un vector por la derecha a una matriz da como resultado un vector columna, pero si $\boldsymbol{y}$ es un vector columna me conviene que sea un vector fila para que esté definida la operación. O sinó al darme cuenta que es un producto escalar de dos vectores se cumple la conmutativa.

$$\displaystyle \boldsymbol{x}'\cdot \boldsymbol{y} = \sum_{k=1}^n x'_k y_k = \sum_{k=1}^n y_k x'_k = \boldsymbol{y}\cdot \boldsymbol{x}' = m \in \mathbb{R}$$

Por lo que

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Donde para la primera igualdad, al ser un producto escalar obtenemos un escalar :P, y por lo tanto $m=m^t\in\mathbb{R}$¹. En la tercera la conmutatividad, cuarta asociativa (esta sí legítima), y en la quinta que $\boldsymbol{x}_i=\boldsymbol{x}_i^t$ a conveniencia para que tenga sentido la operación.

Por el último carácter en especial, mi demostración no la considero válida.

¡Saludos!


¹ Tanto vale en $\mathbb{R}$ como en $\mathbb{C}$.

[skinner]

Re: Propiedad interesante de dos vectores

Bueno, es una posible demostración. Claro que a lo mejor, el "corazón" de la demostración consiste en lo que tú hiciste: escoger a conveniencia si los vectores son fila o columna.

Muchas gracias de nuevo GNzcuber

Un saludo por allá

[natanael]

Re: Propiedad interesante de dos vectores

Hola!, esa conveniencia siempre me ha preocupado, si no mal recuerdo esa conveniencia me perece que viene respaldada en la notacion indicial cuando se trabajan con tensores.

Esto que voy hacer es sencillamente un invento, así que no confiéis del todo.

Incialmente me imagino que tienen que considerarse los vectores todos como columnas o filas pero no distintos, sin embargo si se tiene el producto escalar $\dst U=-\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{E}$ entonces en notación inidicial se pudiera escribir $\dst U=-p_i\delta_{ij}E_j$, pero matricialmente hay que hacer compatibles las operaciones modificando las matrices y vectores como ha mensionado GNzcuber, por ejemplo ese producto escalar se puede escribir como

$\dst U=-\begin{bmatrix}p_1&p_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}E_1\\E_2\end{bmatrix}$

Donde la matriz $\dst \begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$ puede llamarse simplemente $\dst \delta$, luego el producto escalar en $\dst (A\boldsymbol{x})\cdot \boldsymbol{y}$ pudiera representarse como

$$\dst {\left( \begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix} \right) }^T\begin{bmatrix}\delta_{11}&\delta_{12}\\\delta_{21}&\delta_{22}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_1\\y_2\end{bmatrix}$$

ó

$$\dst {\left( A\boldsymbol{x} \right)}^T\delta\boldsymbol{y}$$

$$\boldsymbol{x}^TA^T\delta\boldsymbol{y}$$

y como la matriz identidad o llamada Delta de Kronecker he visto, lo digo porque he sacado las cuentas, la propiedad de que dada una matriz $\dst B$ se me ha cumplido que $\dst B\delta=\delta B$ entonces se pudiera aplicar esto en el siguiente paso

$$\dst \boldsymbol{x}^T\delta A^T\boldsymbol{y}$$

y de igual forma como salté del paso (1) al (2) pudiera usarlo en sentido inverso pasar de la forma de la expresión en (4) a la forma de la expresión en (1) y reducirlo al producto escalar

$$\dst \boldsymbol{x}\cdot (A^T\boldsymbol{y})$$

Algo pirata , pero no se me ocurrió otra cosa!

[pod]

Re: Propiedad interesante de dos vectores

Lo importante al trastear con índices es recordar que en el producto matricial los índices a multiplicar van juntos siempre. Por ejemplo,

$$(A \vec v)_i = A_{ij} v_j .$$

Se sobrentiende suma sobre índices repetidos, en este caso sobre jota. Las matrices siempre van fila-columna. En este caso, el índice i es el índice de filas, así que el resultado sólo tiene una columna. Es decir, es un vector columna.

El ejercicio propuesto en notación indicial sería

$$(A \vec x) \cdot \vec y = (A \vec x)_i y_i = A_{ij} x_j y_i .$$

Fijaos que simplemente he aplicado la ecuación (1). En la última igualdad todo son números, así los podemos reordenar como queramos. Por ejemplo,

$$A_{ij} x_j y_i = x_j A_{ij} y_i .$$

Pero, por lo que dijimos antes, lo anterior no se puede interpretar como un producto matricial de A con y, porque el índice sumado (i) no están juntos. La solución es dar la vuelta a los índices de A, es decir, transponerla:

$$x_j A_{ij} y_i <br /> = x_j A^T_{ji} y_i = x_j (A^T \vec y)_ j = \vec x \cdot (A^T \vec y) .$$