1r ciclo Relación entre los coeficientes y las raíces (o ceros) de un polinomio

[skinner]

Buenas! Tenemos el siguiente polinomio complejo de grado $n\geqslant 1$:

$$p(z)=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\ldots + a_{1}z+a_{0} , a_{n}\neq 0$$

Sean $\dst z_1, z_2, \ldots , z_n$ sus $n$ raíces complejas.

De esta forma, podemos reescribir el polinomio así:

$$p(z)=a_{n}\left( z-z_1 \right) \left( z-z_2 \right) \ldots \left( z-z_n \right)$$

Pues bien, según mis apuntes, a partir de (2) es sencillo deducir que:

$$\boxed{z_1+z_2+\ldots +z_n=-\frac{a_{n-1}}{a_{n}}}$$

$$\boxed{z_1z_2\ldots z_n=(-1)^{n}\frac{a_{0}}{a_{n}}}$$

Yo sé deducir (5) (4), pues si hacemos $z=0$:

$\dst p(0)=a_{0}=a_{n}\left( -z_1 \right) \left( -z_2 \right) \ldots \left( -z_n \right) \Rightarrow \boxed{z_1z_2\ldots z_n=(-1)^{n}\frac{a_{0}}{a_{n}}}$

Pero la propiedad (3) no soy capaz de demostrarla, y por ello pido ayuda a los más expertos.

Un saludo y muchas gracias

[pod]

Re: Relación entre los coeficientes y las raíces (o ceros) de un polinomio

En tu mensaje no hay ecuación (5)

Probablemente sólo tengas que mirar el término en $z^{n-1}$, que se forma tomando de todos los paréntesis la parte con z, en vez de en uno que tomas el $-z_i$. Como hay n formas diferentes de elegir que $-z_i$ tomar, tienes que sumarlas todas.

[skinner]

Re: Relación entre los coeficientes y las raíces (o ceros) de un polinomio

Pod, gracias por tu respuesta. Puse 5 porque fue un fallo de enumeración, pero observando lo que puse debajo pudo haberse deducido a lo que me refería. En todo caso ha sido fallo mío (aunque ya está arreglado).

Por otra parte, no entendí muy bien tu explicación. He intentado multiplicar todos los paréntesis, pero me he vuelto loco y no llego a ninguna parte.

Espero que me ayudes a solventar el problema.

Un saludo. Muchas gracias!

[pod]

Re: Relación entre los coeficientes y las raíces (o ceros) de un polinomio

Cuando tienes una multiplicación de n binomios, tienes un total de $n^2$ términos (a priori, después a lo mejor se juntan algunos). En cada término tienes que elegir uno de los dos miembros de cada uno de los binomios (por eso hay $n \times n$ opciones). Si elijes m veces la parte "z" del binomio, tendrás un término que contribuye al coeficiente de $z^m$, y por lo tanto quedará multiplicado por $n-m$ factores del estilo $z_i$.

Por ejemplo, si elijes m = 0, significa que elijes siempre el término en $z_i$, y por lo tanto básicamente tendrás la multiplicación de todos ellos. No habrá ninguna z, así que esto será igual al término independiente. Esto es una deducción alternativa de tu ecuación (4).

En este caso, si $m = n - 1$, te quedará un un $z_i$. Al hacerlo con todos los posibles, te quedará simplemente la suma de todos los términos de este estilo, $a_n z^{n-1} \sum z_i$.

Igualmente, podrías deducir una fórmula del estilo (esta la he pensado rápido, puede que falle algún coeficiente)

$$\left(\prod z_i \right) \sum_{i < j} \frac{1}{z_i z_j} = (-1)^{n} \frac{a_{2}}{a_n}.$$