1r ciclo Pregunta acerca de una elipse?

[skinner]

Buenas. Sabemos que las constantes a, b y c de una elipse se relacionan así:

$a^2=b^2+c^2$

Esta notación es la que utiliza mi libro de cálculo, y la que siempre he utilizado yo.

Sin embargo, en los apuntes de la escuela (y en algunos de sus exámenes resueltos; en otros usan la que puse arriba) aseguran que:

$b^2=a^2+c^2$

No entiendo por qué varía la relación dependiendo de dónde mires; ¿tendrá algo que ver con la disposición del semieje mayor y menor? En tal caso... ¿podría alguien explicarme por qué es así?

Espero que alguien sea capaz de dejarme claras las ideas.. el examen es el jueves y estoy aterrado

Un saludo. Muchas gracias por vuestra ayuda.

[Cat_in_a_box]

Re: Pregunta acerca de una elipse?

Hola skinner,

Hace ya mucho tiempo que vi las elipses... de todas formas, creo que en esto podré ayudarte, aunque sea sólo un poco. Nos guiaremos con estas dos imágenes:




Vamos a demostrar la relación fundamental de la elipse a ver si podemos verlo ''de otro modo'' como dices tú.

Pues bien, por definición, la suma de las distancias $\bar{PF'}+\bar{PF}$ (radios vectores, o segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos) es una constante para cualquier punto $P$ de la elipse. Además, especialmente esta propiedad se verifica para el vértice $A$. Por lo que tienes:

$$\bar{PF'}+\bar{PF}=\bar{AF'}+\bar{AF}=\bar{AF'}+\bar{F'A'}=\bar{AA'}=2\mathrm{a}$$

Por otro lado tienes que el punto $B$ es un punto de la elipse, y por lo tanto, verifica que:

$$\bar{BF'}+\bar{BF}=2\mathrm{a}$$

Además, como:

$$\bar{BF'}=\bar{BF}\Rightarrow \bar{BF}=\bar{BF'}= \mathrm{a}$$

y ya lo que te falta es aplicar el teorema de Pitágoras, obteniendo la relación fundamental:

$$\boxed{\mathrm{a}^2=\mathrm{b}^2+\mathrm{c}^2}$$

Ten en cuenta que la notación que he utilizado ha sido:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Por tanto, no sé si se tratará de otra notación o qué ocurrirá, pero la relación fundamental de la elipse es esa, la mires por donde la mires, creo yo.

Saludos,

[skinner]

Re: Pregunta acerca de una elipse?

Claro y conciso amigo, justo lo que buscaba, muchas gracias.

Pero ahora tengo una pregunta para ti: ¿y si la elipse está "sentada" se sigue cumpliendo esta relación? (con lo de "sentada" quiero decir que la elipse tenga el eje BB' sobre el eje OX (como en tu dibujo, pero girada 90º respecto al origen)

Con lo de relación me refiero a $a^2=b^2+c^2$

A ver si pudieras ayudarme en esto.

Un saludo y muchas gracias

[Al2000]

Re: Pregunta acerca de una elipse? (OT)

...

$$\bar{BF'}+\bar{BF}=2\mathrm{a}$$

...

Por si no lo sabías... puedes usar el comando \overline en lugar de \bar en este caso para obtener un resultado mas profesional:

$$\overline {BF'} + \overline {BF} = 2 \mathrm{a}$$

Saludos,

Al

[GNzcuber]

Re: Pregunta acerca de una elipse?

¿y si la elipse está "sentada" se sigue cumpliendo esta relación? (con lo de "sentada" quiero decir que la elipse tenga el eje BB' sobre el eje OX (como en tu dibujo, pero girada 90º respecto al origen)

Con lo de relación me refiero a $a^2=b^2+c^2$
...

¿Si a un triángulo rectángulo lo giras 90º deja de ser un triángulo rectángulo?

¡Saludos!

[Cat_in_a_box]

Re: Pregunta acerca de una elipse?

Pues no Al, no lo sabía, y la verdad es que queda mucho más profesional como dices. Muchas gracias por el truco

Pues skinner, creo que la respuesta que te ha dado GNzcuber ilumina bastante, aunque si quieres verlo de un modo más gráfico, fíjate:

Pero ahora tengo una pregunta para ti: ¿y si la elipse está "sentada" se sigue cumpliendo esta relación? (con lo de "sentada" quiero decir que la elipse tenga el eje BB' sobre el eje OX (como en tu dibujo, pero girada 90º respecto al origen)

Con lo de relación me refiero a

Espero que te refieras a algo parecido a lo de esta imagen:



Como ves, esta vez el eje $\overline{BB'}$ descansa sobre el $OX$. Es decir, hemos girado 90º con respecto al anterior dibujo. Imagino que será a esto a lo que te refieres.

En esta imagen no están dibujados los radios vectores, pero ten en cuenta que se trata de lo mismo en realidad.

Tendríamos en este caso que:

$$\displaystyle\begin{aligned}<br /> \overline {BF}&= \mathrm{a} \qquad \text{semieje mayor} \\<br /> \overline{OB}&= \mathrm{b} \qquad \text{semieje menor} \\<br /> \overline{OF}&= \mathrm{c} \qquad \text{semidistancia focal}<br /> \end{aligned}$$

En este caso, aplicando el teorema de Pitágoras, tendrías que la relación fundamental es:

$$\boxed{a^2=b^2+c^2}$$

Es decir, la misma, sólo que en este caso, el cateto que correspondía a $\mathrm{b}$ es ahora $\mathrm{c}$. Por eso te preguntaba GNzcuber que si girabas 90º un triángulo rectángulo, éste seguía siendo rectángulo

Saludos,

[pod]

Re: Pregunta acerca de una elipse? (OT)

Por si no lo sabías... puedes usar el comando \overline en lugar de \bar en este caso para obtener un resultado mas profesional:

$$\overline {BF'} + \overline {BF} = 2 \mathrm{a}$$

Saludos,

Al

$$\overrightarrow{BF'} + \overrightarrow{BF} = 2 \mathrm{a}$$