1r ciclo Sub espacio vectorial

[MonsterV]

Si alguien me puede ayudar a estudiar mostrando como se resuleve un ejercicio de sub espacio vectorial, se lo agradecere de verdad.

cuales de los siguientes subconjuntos son sub espacios vectorial
$S={(x,y,z) \in {R}^{3} : x+z\leqslant 0 }$
$S={(x,y,z) \in {R}^{3} : {z}^{2 }-y= 0 }$

[pod]

Re: Sub espacio vectorial

MonsterV, ¿qué es lo que te presenta dificultades en este ejercicio? ¿Comprendes la definición de sub-espacio vectorial?

[MonsterV]

Re: Sub espacio vectorial

MonsterV, ¿qué es lo que te presenta dificultades en este ejercicio? ¿Comprendes la definición de sub-espacio vectorial?

Si segun se debemos demostrar 3 propiedades la suma entre dos vectores se encuentra en el espacio vectorial que el producto con un escalar se encuentra en el espacio vectorial y la existencia del neutro, lo que no se es como aplicar estas propiedades y por lo tanto llegar a la conclusión de un si es o no un sub espacio.
Gracias por contestar espero ser claro

[pod]

Re: Sub espacio vectorial

Por ejemplo, la suma. En el primer ejercicio, si $(x_1, y_1, z_1)$ y $(x_2, y_2, z_2)$ cumplen la condición, entonces también debe cumplirla la suma $(x_1+x_2, \ y_1 + y_2, \ z_1 + z_2)$. Veamos si la cumple:

$$(x_1 + x_1) + (z_1 + z_2) \mathop{\le}^? 0 \Longrightarrow (x_1 + z_1) + (x_2 + z_2) \mathop{\le}^? 0 .$$

Vemos que tenemos la suma de dos cantidades negativas (porque los dos vectores por separado cumplen la condición). Y, por lo tanto, la suma también es negativa. Es decir, esta condición sí se cumple.

Intenta realizar el mismo procedimiento para las otras propiedades. Si no te sale, vuelve a postear.

[MonsterV]

Re: Sub espacio vectorial

Por ejemplo, la suma. En el primer ejercicio, si $(x_1, y_1, z_1)$ y $(x_2, y_2, z_2)$ cumplen la condición, entonces también debe cumplirla la suma $(x_1+x_2, \ y_1 + y_2, \ z_1 + z_2)$. Veamos si la cumple:

$$(x_1 + x_1) + (z_1 + z_2) \mathop{\le}^? 0 \Longrightarrow (x_1 + z_1) + (x_2 + z_2) \mathop{\le}^? 0 .$$

Vemos que tenemos la suma de dos cantidades negativas (porque los dos vectores por separado cumplen la condición). Y, por lo tanto, la suma también es negativa. Es decir, esta condición sí se cumple.

Intenta realizar el mismo procedimiento para las otras propiedades. Si no te sale, vuelve a postear.

Ok si entendí y si estoy en lo correcto la del producto con un escalar seria algo así:
$\dst \alpha ({x}_{ 1},{y}_{ 1},{z}_{ 1} )=(\alpha {x}_{ 1}, \alpha{y}_{ 1}, \alpha {z}_{ 1} )$
$\dst \to \alpha {x}_{ 1}\leqslant 0 \to \alpha{z}_{ 1}\leqslant 0$
Y eso se encuentra en el conjunto ${R}^{3 }$
y pues el de la existencia del 0 pues es evidente que existe por ser un subespacio
Estoy en lo correcto?.

[MonsterV]

Re: Sub espacio vectorial

A pero si tomamos un escalar que nos de un numero mayor a 0 ya no se cumpliria la condicion por tanto no es sub espacio de R³

[pod]

Re: Sub espacio vectorial

A pero si tomamos un escalar que nos de un numero mayor a 0 ya no se cumpliria la condicion por tanto no es sub espacio de R³

Correcto.

Ahora a por el segundo ejemplo.