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[sergio_informatico]

1º) Calcula la Circulación de

$$F(x,y,z)=[3{x}^{2 }+6y]\vec{i}+[-14yz]\vec{j}+[20x{z}^{ 2} ]\vec{k}$$

desde A(0,0,0) hasta B(1,1,1) a lo largo de estos dos caminos:
a)

$$x=t; y={t}^{2 }, z={t}^{3 }$$

b)Por un camino de líneas rectas uniendo los puntos (0,0,0); (1,0,0); (1,1,0); (1,1,1) por este orden.

2º)Hallar la circulación del vector

$$a=[{x}^{ 2}+{y}^{2}]\vec{i}+[{x}^{ 2}+xy]\vec{j}$$

, cuyo origen es A(0,0,0), y pasa por la recta 2y=x hasta el punto de corte de la parábola

$$x={y}^{2}$$

, y desde este punto al punto A(0,0,0).

3º)Calcula la circulación del vector F=(3y)i+(5x)j+(xyz)k a lo largo de la circunferencia contenida en el plano XY, de centro en el origen y de radio R, en el sentido contrario a las agujas del reloj.

4º)[FONT=Times New Roman]Hallar la circulación del vector

$$\vec{a}=[{x}^{2}+{y}^{2}]\vec{i}+[{x}^{2 }+xy] \vec{j}$$

[/FONT][FONT=Times-Roman][FONT=Times-Roman]cuando partiendo del [/FONT][/FONT][FONT=Times-Roman][FONT=Times-Roman]origen de coordenadas, se sigue por la recta [/FONT][/FONT][FONT=Times-Roman][FONT=Times-Roman]2y [/FONT][/FONT][FONT=Symbol][FONT=Symbol]= [/FONT][/FONT][FONT=Times-Roman][FONT=Times-Roman]x [/FONT][/FONT][FONT=Times-Roman][FONT=Times-Roman]hasta el punto de corte con la [/FONT][/FONT][FONT=Times-Roman][FONT=Times-Roman]parábola [/FONT][/FONT]

$${y}^{2 }=x$$

[FONT=Times-Roman][FONT=Times-Roman], y desde este punto, siguiendo por la parábola, hasta el origen de [/FONT][/FONT][FONT=Times-Roman][FONT=Times-Roman]coordenadas.[/FONT][/FONT]

En estos cuatro problemas, yo he estado investigando en mis apuntes, y se que la fórmula de la circulación del vector es la siguiente:

$$\vec{F}\vec{dr}=\int [\vec{F}\vec{dr}]=\int [\vec{F(x)}+\vec{F(y)}+\vec{F(z)}]$$

pero yo ya me pierdo cuando dicen de un punto a a otro b por un camino, o por otro, cuando hay un punto de corte con la recta o con la parabola, etc.
Gracias a todos.

[Al2000]

Re: Duda2

1º) Calcula la Circulación de

$$F(x,y,z)=[3{x}^{2 }+6y]\vec{i}+[-14yz]\vec{j}+[20x{z}^{ 2} ]\vec{k}$$

desde A(0,0,0) hasta B(1,1,1) a lo largo de estos dos caminos:
a)

$$x=t; y={t}^{2 }, z={t}^{3 }$$

b)Por un camino de líneas rectas uniendo los puntos (0,0,0); (1,0,0); (1,1,0); (1,1,1) por este orden.
...

Te ayudo con el primero. Después miro los otros, cuando tenga la mente mas fresca y si nadie mas te ha ayudado.

1°) a) $\dst \Lambda_F = \int_C \boldsymbol F \boldsymbol \cdot d \boldsymbol r = \int_C \left[(3 x^2 + 6 y) \boldsymbol i - 14 y z \boldsymbol j + 20 x z^2 \boldsymbol k \right] \boldsymbol \cdot (dx\, \boldsymbol i + dy \, \boldsymbol j + dz\, \boldsymbol k)$

$\dst \Lambda_F = \int_C (3 x^2 + 6 y) \, dx - 14 y z \, dy + 20 x z^2 \, dz$

pero $dx = dt, \quad dy = 2 t\, dt, \quad dz = 3 t^2\, dt$:

$\dst \Lambda_F = \int_0^1 (3 t^2 + 6 t^2) \, dt - 14 t^2 t^3 \cdot 2 t \, dt + 20 t (t^3)^2 \cdot 3 t^2 \, dt = \int_0^1 \left(9 t^2 - 28 t^6 + 60 t^9 \right ) dt = 5$

Para el inciso b) haz lo mismo pero usa la curva

$$C : <br /> \left \{\begin{aligned}<br /> &x = t,\, y = 0,\, z = 0, & 0 \leqslant &t \leqslant 1 \\<br /> &x = 1,\, y = t-1,\, z = 0, & 1 \leqslant &t \leqslant 2 \\<br /> &x = 1,\, y = 1,\, z = t-2, & 2 \leqslant &t \leqslant 3<br /> \end{aligned}\right .<br />$$

Te quedará

$\dst \Lambda_F = \int_0^1 3 t^2\, dt + \int_2^3 20 (t-2)^2\, dt = \frac {23} 3$

Nota que la integral desde t=1 hasta t=2 es cero porque z=0 en ese trayecto.

Saludos,

Al

[Al2000]

Re: Duda2

Voy con el tercero.

...
3º)Calcula la circulación del vector F=(3y)i+(5x)j+(xyz)k a lo largo de la circunferencia contenida en el plano XY, de centro en el origen y de radio R, en el sentido contrario a las agujas del reloj.
...

Usando la conocida parametrización de la circunferencia

$\dst x = R \cos 2 \pi t, \quad y = R \, \mathrm {sen} \, 2 \pi t, \quad z = 0$

se obtiene derivando que

$\dst dx = - 2 \pi R \, \mathrm {sen} \, 2 \pi t\,dt, \quad dy = 2 \pi R \cos 2 \pi t\,dt, \quad dz = 0$

donde el parámetro $t$ corre de 0 a 1. Entonces la circulación de F será

$\dst <br /> \begin{aligned}<br /> \Lambda_F &= \int_C \boldsymbol F \boldsymbol \cdot d \boldsymbol l = \int_C (3 y \, \boldsymbol i + 5 x \, \boldsymbol j + x y z \, \boldsymbol k) \boldsymbol \cdot (dx\, \boldsymbol i + dy \, \boldsymbol j + dz\, \boldsymbol k) \\<br /> &= \int_C 3 y \, dx + 5 x\, dy + x y z \, dz <br /> \end{aligned}<br />$

Poniendo todo en función de $t$ queda

$\dst \Lambda_F = \int_0^1\!\! (-6 \pi R^2 \, \mathrm {sen^2} \, 2 \pi t + 10 \pi R^2 \cos^2 2 \pi t)\, dt = 2 \pi R^2$

Respecto a los problemas 2) y 4) pregunto ¿copiaste el mismo problema dos veces? El único cambio que veo entre uno y otro es la parábola en las ecuaciones (4) y (6) y me preguntaba si sería un error de tipeo.

Saludos,

Al

[sergio_informatico]

Re: Duda2

Respecto a los problemas 2) y 4) pregunto ¿copiaste el mismo problema dos veces? El único cambio que veo entre uno y otro es la parábola en las ecuaciones (4) y (6) y me preguntaba si sería un error de tipeo.

Saludos,
Al

Me acabo de dar cuenta, son iguales, pero los copie tal cual. Con que me expliques uno de ellos me es suficiente, muchas gracias por tu interes

[Al2000]

Re: Duda2

Hey, eso es trampa, porque si te explico uno te explico los dos je je je

Bueno, compañero, el procedimiento es el mismo. Básicamente lo que tienes que hacer es visualizar la curva que forma el camino de integración y parametrizarlo para calcular la integral igual que en los dos ejemplos previos. Te sugiero grafiques la trayectoria, formada por por la recta $2 y = x$ y la parábola $y^2 = x$. Según entiendo del enunciado, la curva de integración debe partir del origen, "seguir" por la recta hasta la intercepción con la parábola y "regresar" al origen por la parábola. Hay que hallar el punto de intercepción resolviendo simultáneamente la ecuación de la recta y la de la parábola. Obtendrás que se interceptan en el origen, por supuesto, y en el punto (4,2) (verifica que satisface ambas ecuaciones).

Para parametrizar la recta $2y = x$ desde (0,0) hasta (4,2) bastará con tomar

$\dst x = 4 t, \quad y = 2 t$

corriendo el parámetro $t$ de 0 a 1. Para parametrizar la parábola en sentido opuesto se puede hacer

$\dst x = 4 (2-t), \quad y = 2 \sqrt {2-t}$

corriendo el parámetro desde 1 hasta 2.

Determina los incrementos $dx, dy$ en cada segmento e integra respecto de $t$ desde 0 hasta 2.

Esto lo estoy escribiendo sobre la marcha sin haberlo probado. Voy a hacer el cálculo y te pongo cuánto me dió para comparar.

Saludos,

Al

PD. Si no metí la pata en ninguna parte el resultado es 44/15.

EDITO casi un año después: Una pregunta reciente me hizo recalcular la integral para llegar al resultado de -124/15.